Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{11}} - x^{\frac{3}{11}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{\frac{2}{11}} - x^{\frac{3}{11}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{11}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{2}{11}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{11}$ .

$3 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{11}{11}$ .

$3 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{11}{11}$ .

$3 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 1 \cdot 11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $11$ .

$3 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 11}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $11$ из $2$ .

$3 (\frac{2}{11} x^{\frac{- 9}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (\frac{2}{11} x^{- \frac{9}{11}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.2.8

Объединим $\frac{2}{11}$ и $x^{- \frac{9}{11}}$ .

$3 \frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.2.9

Объединим $3$ и $\frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$ .

$\frac{3 (2 x^{- \frac{9}{11}})}{11} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.2.10

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{9}{11}}}{11} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{9}{11}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{11}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{3}{11}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{11}}]$ .

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{11}}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{11}$ .

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} - 1})$

Этап 1.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{11}{11}$ .

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})$

Этап 1.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{11}{11}$ .

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - (\frac{3}{11} x^{\frac{3}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})$

Этап 1.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - (\frac{3}{11} x^{\frac{3 - 1 \cdot 11}{11}})$

Этап 1.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $11$ .

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - (\frac{3}{11} x^{\frac{3 - 11}{11}})$

Этап 1.1.3.6.2

Вычтем $11$ из $3$ .

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - (\frac{3}{11} x^{\frac{- 8}{11}})$

Этап 1.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - (\frac{3}{11} x^{- \frac{8}{11}})$

Этап 1.1.3.8

Объединим $\frac{3}{11}$ и $x^{- \frac{8}{11}}$ .

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - \frac{3 x^{- \frac{8}{11}}}{11}$

Этап 1.1.3.9

Перенесем $x^{- \frac{8}{11}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}}$ .

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}} = 0$

Этап 2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$11 x^{\frac{9}{11}}, 11 x^{\frac{8}{11}}, 1$

Этап 2.2.2

Так как $11 x^{\frac{9}{11}}, 11 x^{\frac{8}{11}}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $11, 11, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{\frac{9}{11}}, x^{\frac{8}{11}}$ .

Этап 2.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.2.4

Поскольку $11$ не имеет множителей, кроме $1$ и $11$ .

$11$ — простое число

Этап 2.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.2.6

НОК $11, 11, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$11$

Этап 2.2.7

НОК $x^{\frac{9}{11}}, x^{\frac{8}{11}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{9}{11}}$

Этап 2.2.8

НОК $11 x^{\frac{9}{11}}, 11 x^{\frac{8}{11}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $11$ и переменной части.

$11 x^{\frac{9}{11}}$

Этап 2.3

Каждый член в $\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}} = 0$ умножим на $11 x^{\frac{9}{11}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим каждый член $\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}} = 0$ на $11 x^{\frac{9}{11}}$ .

$\frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} (11 x^{\frac{9}{11}}) - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}} (11 x^{\frac{9}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{9}{11}})$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$11 \frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} x^{\frac{9}{11}} - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}} (11 x^{\frac{9}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{9}{11}})$

Этап 2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$11 \frac{6}{11 x^{\frac{9}{11}}} x^{\frac{9}{11}} - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}} (11 x^{\frac{9}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{9}{11}})$

Этап 2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{6}{x^{\frac{9}{11}}} x^{\frac{9}{11}} - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}} (11 x^{\frac{9}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{9}{11}})$

Этап 2.3.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{\frac{9}{11}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{x^{\frac{9}{11}}} x^{\frac{9}{11}} - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}} (11 x^{\frac{9}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{9}{11}})$

Этап 2.3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$6 - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}} (11 x^{\frac{9}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{9}{11}})$

Этап 2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $x^{\frac{8}{11}} \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}}$ в числитель.

$6 + \frac{- 3}{11 x^{\frac{8}{11}}} (11 x^{\frac{9}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{9}{11}})$

Этап 2.3.2.1.4.2

Вынесем множитель $x^{\frac{8}{11}} \cdot 11$ из $11 x^{\frac{8}{11}}$ .

$6 + \frac{- 3}{x^{\frac{8}{11}} \cdot 11 (1)} (11 x^{\frac{9}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{9}{11}})$

Этап 2.3.2.1.4.3

Вынесем множитель $x^{\frac{8}{11}} \cdot 11$ из $11 x^{\frac{9}{11}}$ .

$6 + \frac{- 3}{x^{\frac{8}{11}} \cdot 11 (1)} (x^{\frac{8}{11}} \cdot 11 (x^{\frac{1}{11}})) = 0 (11 x^{\frac{9}{11}})$

Этап 2.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель.

$6 + \frac{- 3}{x^{\frac{8}{11}} \cdot 11 \cdot 1} (x^{\frac{8}{11}} \cdot 11 x^{\frac{1}{11}}) = 0 (11 x^{\frac{9}{11}})$

Этап 2.3.2.1.4.5

Перепишем это выражение.

$6 - 3 x^{\frac{1}{11}} = 0 (11 x^{\frac{9}{11}})$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $0 (11 x^{\frac{9}{11}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $11$ на $0$ .

$6 - 3 x^{\frac{1}{11}} = 0 x^{\frac{9}{11}}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{9}{11}}$ .

$6 - 3 x^{\frac{1}{11}} = 0$

Этап 2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{\frac{1}{11}} = - 6$

Этап 2.4.2

Возведем обе части уравнения в степень $11$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(- 3 x^{\frac{1}{11}})}^{11} = {(- 6)}^{11}$

Этап 2.4.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Упростим ${(- 3 x^{\frac{1}{11}})}^{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- 3 x^{\frac{1}{11}}$ .

${(- 3)}^{11} {(x^{\frac{1}{11}})}^{11} = {(- 6)}^{11}$

Этап 2.4.3.1.1.2

Возведем $- 3$ в степень $11$ .

$- 177147 {(x^{\frac{1}{11}})}^{11} = {(- 6)}^{11}$

Этап 2.4.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{11}})}^{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 177147 x^{\frac{1}{11} \cdot 11} = {(- 6)}^{11}$

Этап 2.4.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- 177147 x^{\frac{1}{11} \cdot 11} = {(- 6)}^{11}$

Этап 2.4.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- 177147 x^{1} = {(- 6)}^{11}$

Этап 2.4.3.1.1.4

Упростим.

$- 177147 x = {(- 6)}^{11}$

Этап 2.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Возведем $- 6$ в степень $11$ .

$- 177147 x = - 362797056$

Этап 2.4.4

Разделим каждый член $- 177147 x = - 362797056$ на $- 177147$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Разделим каждый член $- 177147 x = - 362797056$ на $- 177147$ .

$\frac{- 177147 x}{- 177147} = \frac{- 362797056}{- 177147}$

Этап 2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 177147$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 177147 x}{- 177147} = \frac{- 362797056}{- 177147}$

Этап 2.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 362797056}{- 177147}$

Этап 2.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.3.1

Разделим $- 362797056$ на $- 177147$ .

$x = 2048$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $2048$ .

$2048$

Этап 4

Найдем, где производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{6}{11 \sqrt[11]{x^{9}}} - \frac{3}{11 x^{\frac{8}{11}}}$

Этап 4.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{6}{11 \sqrt[11]{x^{9}}} - \frac{3}{11 \sqrt[11]{x^{8}}}$

Этап 4.2

Зададим знаменатель в $\frac{6}{11 \sqrt[11]{x^{9}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$11 \sqrt[11]{x^{9}} = 0$

Этап 4.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $11$ .

${(11 \sqrt[11]{x^{9}})}^{11} = 0^{11}$

Этап 4.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[11]{x^{9}}$ в виде $x^{\frac{9}{11}}$ .

${(11 x^{\frac{9}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Этап 4.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Упростим ${(11 x^{\frac{9}{11}})}^{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $11 x^{\frac{9}{11}}$ .

$11^{11} {(x^{\frac{9}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Этап 4.3.2.2.1.2

Возведем $11$ в степень $11$ .

$285311670611 {(x^{\frac{9}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Этап 4.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{9}{11}})}^{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$285311670611 x^{\frac{9}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

Этап 4.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$285311670611 x^{\frac{9}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

Этап 4.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$285311670611 x^{9} = 0^{11}$

Этап 4.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$285311670611 x^{9} = 0$

Этап 4.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Разделим каждый член $285311670611 x^{9} = 0$ на $285311670611$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Разделим каждый член $285311670611 x^{9} = 0$ на $285311670611$ .

$\frac{285311670611 x^{9}}{285311670611} = \frac{0}{285311670611}$

Этап 4.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $285311670611$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{285311670611 x^{9}}{285311670611} = \frac{0}{285311670611}$

Этап 4.3.3.1.2.1.2

Разделим $x^{9}$ на $1$ .

$x^{9} = \frac{0}{285311670611}$

Этап 4.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $285311670611$ .

$x^{9} = 0$

Этап 4.3.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[9]{0}$

Этап 4.3.3.3

Упростим $\sqrt[9]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{9}$ .

$x = \sqrt[9]{0^{9}}$

Этап 4.3.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 4.4

Зададим знаменатель в $\frac{3}{11 \sqrt[11]{x^{8}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$11 \sqrt[11]{x^{8}} = 0$

Этап 4.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $11$ .

${(11 \sqrt[11]{x^{8}})}^{11} = 0^{11}$

Этап 4.5.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[11]{x^{8}}$ в виде $x^{\frac{8}{11}}$ .

${(11 x^{\frac{8}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Этап 4.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Упростим ${(11 x^{\frac{8}{11}})}^{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.1

Применим правило умножения к $11 x^{\frac{8}{11}}$ .

$11^{11} {(x^{\frac{8}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Этап 4.5.2.2.1.2

Возведем $11$ в степень $11$ .

$285311670611 {(x^{\frac{8}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Этап 4.5.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{8}{11}})}^{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$285311670611 x^{\frac{8}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

Этап 4.5.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$285311670611 x^{\frac{8}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

Этап 4.5.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$285311670611 x^{8} = 0^{11}$

Этап 4.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$285311670611 x^{8} = 0$

Этап 4.5.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1

Разделим каждый член $285311670611 x^{8} = 0$ на $285311670611$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.1

Разделим каждый член $285311670611 x^{8} = 0$ на $285311670611$ .

$\frac{285311670611 x^{8}}{285311670611} = \frac{0}{285311670611}$

Этап 4.5.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.1

Сократим общий множитель $285311670611$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{285311670611 x^{8}}{285311670611} = \frac{0}{285311670611}$

Этап 4.5.3.1.2.1.2

Разделим $x^{8}$ на $1$ .

$x^{8} = \frac{0}{285311670611}$

Этап 4.5.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.1.3.1

Разделим $0$ на $285311670611$ .

$x^{8} = 0$

Этап 4.5.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[8]{0}$

Этап 4.5.3.3

Упростим $\pm \sqrt[8]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{8}$ .

$x = \pm \sqrt[8]{0^{8}}$

Этап 4.5.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 4.5.3.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2048) \cup (2048, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 0)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{6}{11 {(- 1)}^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 {(- 1)}^{\frac{8}{11}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{11}$ .

$f' (- 1) = \frac{6}{11 {({(- 1)}^{11})}^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 {(- 1)}^{\frac{8}{11}}}$

Этап 6.2.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{6}{11 {(- 1)}^{11 (\frac{9}{11})}} - \frac{3}{11 {(- 1)}^{\frac{8}{11}}}$

Этап 6.2.1.1.3

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$f' (- 1) = \frac{6}{11 {(- 1)}^{11 (\frac{9}{11})}} - \frac{3}{11 {(- 1)}^{\frac{8}{11}}}$

Этап 6.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$f' (- 1) = \frac{6}{11 {(- 1)}^{9}} - \frac{3}{11 {(- 1)}^{\frac{8}{11}}}$

Этап 6.2.1.1.4

Возведем $- 1$ в степень $9$ .

$f' (- 1) = \frac{6}{11 \cdot - 1} - \frac{3}{11 {(- 1)}^{\frac{8}{11}}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $11$ на $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{6}{- 11} - \frac{3}{11 {(- 1)}^{\frac{8}{11}}}$

Этап 6.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1) = - \frac{6}{11} - \frac{3}{11 {(- 1)}^{\frac{8}{11}}}$

Этап 6.2.1.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{11}$ .

$f' (- 1) = - \frac{6}{11} - \frac{3}{11 {({(- 1)}^{11})}^{\frac{8}{11}}}$

Этап 6.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = - \frac{6}{11} - \frac{3}{11 {(- 1)}^{11 (\frac{8}{11})}}$

Этап 6.2.1.4.3

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$f' (- 1) = - \frac{6}{11} - \frac{3}{11 {(- 1)}^{11 (\frac{8}{11})}}$

Этап 6.2.1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$f' (- 1) = - \frac{6}{11} - \frac{3}{11 {(- 1)}^{8}}$

Этап 6.2.1.4.4

Возведем $- 1$ в степень $8$ .

$f' (- 1) = - \frac{6}{11} - \frac{3}{11 \cdot 1}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $11$ на $1$ .

$f' (- 1) = - \frac{6}{11} - \frac{3}{11}$

Этап 6.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 1) = \frac{- 6 - 3}{11}$

Этап 6.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Вычтем $3$ из $- 6$ .

$f' (- 1) = \frac{- 9}{11}$

Этап 6.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 1) = - \frac{9}{11}$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{9}{11}$ .

$- \frac{9}{11}$

Этап 6.3

При $x = - 1$ производная имеет вид $- \frac{9}{11}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 0)$ .

Убывание на $(- \infty, 0)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, 2048)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1024$ .

$f' (1024) = \frac{6}{11 {(1024)}^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 {(1024)}^{\frac{8}{11}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (1024) = \frac{6}{11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 \cdot 1024^{\frac{8}{11}}}$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $- \frac{3}{11 \cdot 1024^{\frac{8}{11}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1024^{\frac{1}{11}}}{1024^{\frac{1}{11}}}$ .

$f' (1024) = \frac{6}{11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 \cdot 1024^{\frac{8}{11}}} \cdot \frac{1024^{\frac{1}{11}}}{1024^{\frac{1}{11}}}$

Этап 7.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $\frac{3}{11 \cdot 1024^{\frac{8}{11}}}$ на $\frac{1024^{\frac{1}{11}}}{1024^{\frac{1}{11}}}$ .

$f' (1024) = \frac{6}{11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}} - \frac{3 \cdot 1024^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 1024^{\frac{8}{11}} \cdot 1024^{\frac{1}{11}}}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $1024^{\frac{8}{11}}$ на $1024^{\frac{1}{11}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Перенесем $1024^{\frac{1}{11}}$ .

$f' (1024) = \frac{6}{11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}} - \frac{3 \cdot 1024^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot (1024^{\frac{1}{11}} \cdot 1024^{\frac{8}{11}})}$

Этап 7.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (1024) = \frac{6}{11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}} - \frac{3 \cdot 1024^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 1024^{\frac{1}{11} + \frac{8}{11}}}$

Этап 7.2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (1024) = \frac{6}{11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}} - \frac{3 \cdot 1024^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 1024^{\frac{1 + 8}{11}}}$

Этап 7.2.3.2.4

Добавим $1$ и $8$ .

$f' (1024) = \frac{6}{11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}} - \frac{3 \cdot 1024^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (1024) = \frac{6 - 3 \cdot 1024^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}}$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $\frac{6 - 3 \cdot 1024^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}}$ .

$\frac{6 - 3 \cdot 1024^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}}$

Этап 7.3

При $x = 1024$ производная имеет вид $\frac{6 - 3 \cdot 1024^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 1024^{\frac{9}{11}}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(0, 2048)$ .

Убывание на $(0, 2048)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(2048, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2049$ .

$f' (2049) = \frac{6}{11 {(2049)}^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 {(2049)}^{\frac{8}{11}}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Избавимся от скобок.

$f' (2049) = \frac{6}{11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 \cdot 2049^{\frac{8}{11}}}$

Этап 8.2.2

Чтобы записать $- \frac{3}{11 \cdot 2049^{\frac{8}{11}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2049^{\frac{1}{11}}}{2049^{\frac{1}{11}}}$ .

$f' (2049) = \frac{6}{11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}} - \frac{3}{11 \cdot 2049^{\frac{8}{11}}} \cdot \frac{2049^{\frac{1}{11}}}{2049^{\frac{1}{11}}}$

Этап 8.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $\frac{3}{11 \cdot 2049^{\frac{8}{11}}}$ на $\frac{2049^{\frac{1}{11}}}{2049^{\frac{1}{11}}}$ .

$f' (2049) = \frac{6}{11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}} - \frac{3 \cdot 2049^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2049^{\frac{8}{11}} \cdot 2049^{\frac{1}{11}}}$

Этап 8.2.3.2

Умножим $2049^{\frac{8}{11}}$ на $2049^{\frac{1}{11}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Перенесем $2049^{\frac{1}{11}}$ .

$f' (2049) = \frac{6}{11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}} - \frac{3 \cdot 2049^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot (2049^{\frac{1}{11}} \cdot 2049^{\frac{8}{11}})}$

Этап 8.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (2049) = \frac{6}{11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}} - \frac{3 \cdot 2049^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2049^{\frac{1}{11} + \frac{8}{11}}}$

Этап 8.2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2049) = \frac{6}{11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}} - \frac{3 \cdot 2049^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2049^{\frac{1 + 8}{11}}}$

Этап 8.2.3.2.4

Добавим $1$ и $8$ .

$f' (2049) = \frac{6}{11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}} - \frac{3 \cdot 2049^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}}$

Этап 8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2049) = \frac{6 - 3 \cdot 2049^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}}$

Этап 8.2.5

Окончательный ответ: $\frac{6 - 3 \cdot 2049^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}}$ .

$\frac{6 - 3 \cdot 2049^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}}$

Этап 8.3

При $x = 2049$ производная имеет вид $\frac{6 - 3 \cdot 2049^{\frac{1}{11}}}{11 \cdot 2049^{\frac{9}{11}}}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(2048, \infty)$ .

Убывание на $(2048, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 9

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, 0), (0, 2048), (2048, \infty)$

Этап 10