Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{4 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{4 x}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Этап 1.1.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Этап 1.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{4 x}{3}$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{3}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{3}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\frac{4 x}{3}) (\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.2.2

Объединим $\frac{4}{3}$ и $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} \cdot 1$

Этап 1.1.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Разделим каждый член $4 \sin (\frac{4 x}{3}) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.1.2.1.2

Разделим $\sin (\frac{4 x}{3})$ на $1$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$\sin (\frac{4 x}{3}) = 0$

Этап 2.3.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$\frac{4 x}{3} = \arcsin (0)$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$\frac{4 x}{3} = 0$

Этап 2.3.4

Приравняем числитель к нулю.

$4 x = 0$

Этап 2.3.5

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Разделим каждый член $4 x = 0$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Этап 2.3.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$x = 0$

Этап 2.3.6

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$\frac{4 x}{3} = π - 0$

Этап 2.3.7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Этап 2.3.7.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1.1

Упростим $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 x}{3} = \frac{3}{4} (π - 0)$

Этап 2.3.7.2.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Этап 2.3.7.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{1}{4} (4 (x)) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Этап 2.3.7.2.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4} (4 x) = \frac{3}{4} (π - 0)$

Этап 2.3.7.2.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{4} (π - 0)$

Этап 2.3.7.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1

Упростим $\frac{3}{4} (π - 0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.2.1.1

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = \frac{3}{4} π$

Этап 2.3.7.2.2.1.2

Объединим $\frac{3}{4}$ и $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.3.8

Найдем период $\sin (\frac{4 x}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.3.8.2

Заменим $b$ на $\frac{4}{3}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{4}{3} |}$

Этап 2.3.8.3

$\frac{4}{3}$ приблизительно равно $1.\overline{3}$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{4}{3}}$

Этап 2.3.8.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{3}{4}$

Этап 2.3.8.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{4}$

Этап 2.3.8.5.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 (π) \frac{3}{2 (2)}$

Этап 2.3.8.5.3

Сократим общий множитель.

$2 π \frac{3}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.8.5.4

Перепишем это выражение.

$π \frac{3}{2}$

Этап 2.3.8.6

Объединим $π$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{π \cdot 3}{2}$

Этап 2.3.8.7

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Этап 2.3.9

Период функции $\sin (\frac{4 x}{3})$ равен $\frac{3 π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{3 π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π n}{2}, \frac{3 π}{4} + \frac{3 π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 2.4

Объединим ответы.

$x = \frac{3 π n}{4}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{3 π n}{4}$ .

$\frac{3 π n}{4}$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - \frac{4 \sin (\frac{4 x}{3})}{3}$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = \cos (\frac{4 x}{3})$ в интервале $(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{3 π n}{4}) \cup (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π n}{4} - 1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1)}{3})}{3}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Этап 5.2.1.2

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Этап 5.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 1 \cdot 4}{4})}{3})}{3}$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n - 4}{4})}{3})}{3}$

Этап 5.2.2

Объединим $4$ и $\frac{3 π n - 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Этап 5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим выражение $\frac{4 (3 π n - 4)}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n - 4)}{4}}{3})}{3}$

Этап 5.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n - 4}{1}}{3})}{3}$

Этап 5.2.3.2

Разделим $3 π n - 4$ на $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} - 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$

Этап 5.3

При $x = \frac{3 π n}{4} - 1$ производная имеет вид $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n - 4}{3})}{3}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{3 π n}{4})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{3 π n}{4} + 1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + 1)}{3})}{3}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n}{4} + \frac{4}{4})}{3})}{3}$

Этап 6.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{4 (\frac{3 π n + 4}{4})}{3})}{3}$

Этап 6.2.2

Объединим $4$ и $\frac{3 π n + 4}{4}$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Сократим выражение $\frac{4 (3 π n + 4)}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{4 (3 π n + 4)}{4}}{3})}{3}$

Этап 6.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{\frac{3 π n + 4}{1}}{3})}{3}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $3 π n + 4$ на $1$ .

$f' (\frac{3 π n}{4} + 1) = - \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ .

$- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$

Этап 6.3

При $x = \frac{3 π n}{4} + 1$ производная имеет вид $- \frac{4 \sin (\frac{3 π n + 4}{3})}{3}$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{3 π n}{4}, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, \frac{3 π n}{4}), (\frac{3 π n}{4}, \infty)$

Этап 8