Математический анализ Примеры

${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$

Этап 1

Запишем ${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ в виде функции.

$f (x) = {(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная ${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.2.6

Умножим $7$ на $1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ и $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 {(x + 1)}^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 {(x + 1)}^{6}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 {(x + 1)}^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 {(x + 1)}^{6}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{6}]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{6}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 3.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$f'' (x) = 7 (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} (x + 1)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 3.2.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} (1))) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 3.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 3.2.6

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 3.2.7

Умножим $6$ на $1$ .

$f'' (x) = 7 (6 {(x + 1)}^{5}) + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 3.2.8

Умножим $6$ на $7$ .

$f'' (x) = 42 {(x + 1)}^{5} + \frac{d}{d x} (- 7)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 42 {(x + 1)}^{5} + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $42 {(x + 1)}^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = 42 {(x + 1)}^{5}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная ${(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.2.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.2.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.2.6

Умножим $7$ на $1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ и $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 1)}^{6} - 7$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $7 {(x + 1)}^{6} - 7 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$7 {(x + 1)}^{6} - 7 = 0$

Этап 6.2

Упростим $7 {(x + 1)}^{6} - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 1 + 15 x^{4} \cdot 1^{2} + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Этап 6.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Умножим $6$ на $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 1^{2} + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Этап 6.2.1.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 1 + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Этап 6.2.1.2.3

Умножим $15$ на $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 1^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Этап 6.2.1.2.4

Единица в любой степени равна единице.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 1 + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Этап 6.2.1.2.5

Умножим $20$ на $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1^{4} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Этап 6.2.1.2.6

Единица в любой степени равна единице.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1 + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Этап 6.2.1.2.7

Умножим $15$ на $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x \cdot 1^{5} + 1^{6}) - 7 = 0$

Этап 6.2.1.2.8

Единица в любой степени равна единице.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x \cdot 1 + 1^{6}) - 7 = 0$

Этап 6.2.1.2.9

Умножим $6$ на $1$ .

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x + 1^{6}) - 7 = 0$

Этап 6.2.1.2.10

Единица в любой степени равна единице.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} + 15 x^{4} + 20 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x + 1) - 7 = 0$

Этап 6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$7 x^{6} + 7 (6 x^{5}) + 7 (15 x^{4}) + 7 (20 x^{3}) + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Умножим $6$ на $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 7 (15 x^{4}) + 7 (20 x^{3}) + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Этап 6.2.1.4.2

Умножим $15$ на $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 7 (20 x^{3}) + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Этап 6.2.1.4.3

Умножим $20$ на $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 7 (15 x^{2}) + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Этап 6.2.1.4.4

Умножим $15$ на $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 7 (6 x) + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Этап 6.2.1.4.5

Умножим $6$ на $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 7 \cdot 1 - 7 = 0$

Этап 6.2.1.4.6

Умножим $7$ на $1$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 7 - 7 = 0$

Этап 6.2.2

Объединим противоположные члены в $7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 7 - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $7$ из $7$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x + 0 = 0$

Этап 6.2.2.2

Добавим $7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x$ и $0$ .

$7 x^{6} + 42 x^{5} + 105 x^{4} + 140 x^{3} + 105 x^{2} + 42 x = 0$

Этап 6.3

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x = - 2, 0$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 2, 0$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$42 {((- 2) + 1)}^{5}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $- 2$ и $1$ .

$42 {(- 1)}^{5}$

Этап 10.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$42 \cdot - 1$

Этап 10.3

Умножим $42$ на $- 1$ .

$- 42$

Этап 11

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {((- 2) + 1)}^{7} - 7 \cdot - 2 - 3$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Добавим $- 2$ и $1$ .

$f (- 2) = {(- 1)}^{7} - 7 \cdot - 2 - 3$

Этап 12.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $7$ .

$f (- 2) = - 1 - 7 \cdot - 2 - 3$

Этап 12.2.1.3

Умножим $- 7$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 1 + 14 - 3$

Этап 12.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Добавим $- 1$ и $14$ .

$f (- 2) = 13 - 3$

Этап 12.2.2.2

Вычтем $3$ из $13$ .

$f (- 2) = 10$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $10$ .

$y = 10$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$42 {((0) + 1)}^{5}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Добавим $0$ и $1$ .

$42 \cdot 1^{5}$

Этап 14.2

Единица в любой степени равна единице.

$42 \cdot 1$

Этап 14.3

Умножим $42$ на $1$ .

$42$

Этап 15

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {((0) + 1)}^{7} - 7 \cdot 0 - 3$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 1^{7} - 7 \cdot 0 - 3$

Этап 16.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (0) = 1 - 7 \cdot 0 - 3$

Этап 16.2.1.3

Умножим $- 7$ на $0$ .

$f (0) = 1 + 0 - 3$

Этап 16.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f (0) = 1 - 3$

Этап 16.2.2.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f (0) = - 2$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$y = - 2$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = {(x + 1)}^{7} - 7 x - 3$ .

$(- 2, 10)$ — локальный максимум

$(0, - 2)$ — локальный минимум

Этап 18