Математический анализ Примеры

$\frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4}$

Этап 1

Запишем $\frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 4$ .

$7 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 4$ .

$7 \frac{2 \cdot (x^{2} - 4) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.6

Добавим $1$ и $2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.7

Объединим $7$ и $\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (2 x^{2} x) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{7 (2 (x \cdot x^{2})) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 (2 (x^{1} x^{2})) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 (2 x^{1 + 2}) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{7 (2 x^{3}) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.4.1.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.4.1.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (- 8 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.4.1.4

Умножим $- 8$ на $7$ .

$\frac{14 x^{3} - 56 x + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.4.1.5

Умножим $- 2$ на $7$ .

$\frac{14 x^{3} - 56 x - 14 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.4.2

Объединим противоположные члены в $14 x^{3} - 56 x - 14 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.2.1

Вычтем $14 x^{3}$ из $14 x^{3}$ .

$\frac{- 56 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.4.2.2

Добавим $- 56 x$ и $0$ .

$\frac{- 56 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{56 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 2.8.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{56 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.6.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$- \frac{56 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Этап 2.8.6.3

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 56$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ по $x$ равна $- 56 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Умножим ${(x + 2)}^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(x + 2)}^{2}$ и $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{2}) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x - 2$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x - 2$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x ({(x + 2)}^{2} (2 (x - 2) \frac{d}{d x} (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем $2$ влево от ${(x + 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 2)}^{2} (x - 2)) \frac{d}{d x} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.2

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) (1 + 0) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) \cdot 1 + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.6.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2}))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + 2$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.7.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 2$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + {(x - 2)}^{2} (2 (x + 2) \frac{d}{d x} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перенесем $2$ влево от ${(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 \cdot ({(x - 2)}^{2} (x + 2)) \frac{d}{d x} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.8.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.8.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) (1 + 0))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.8.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2) \cdot 1)}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.8.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 56 \frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.8.5.3

Объединим $- 56$ и $\frac{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 56 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.8.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{56 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Применим правило умножения к ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2) + 2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{56 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} - x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)) - x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{56 ({(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}) + 56 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 56 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Вынесем множитель $56 (x + 2) (x - 2)$ из $56 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} + 56 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 56 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1.1

Вынесем множитель $56 (x + 2) (x - 2)$ из $56 {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 56 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2))) + 56 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.1.2

Вынесем множитель $56 (x + 2) (x - 2)$ из $56 (- x (2 {(x + 2)}^{2} (x - 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 56 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 56 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.1.3

Вынесем множитель $56 (x + 2) (x - 2)$ из $56 (- x (2 {(x - 2)}^{2} (x + 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 56 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2))) + 56 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.1.4

Вынесем множитель $56 (x + 2) (x - 2)$ из $56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2)) + 56 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x + 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 56 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.1.5

Вынесем множитель $56 (x + 2) (x - 2)$ из $56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2))) + 56 (x + 2) (x - 2) (- x (2 (x - 2)))$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - x (2 (x + 2)) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - x (2 (x - 2)))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.3.1

Развернем $(x + 2) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x (x - 2) + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.2

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.3.2.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot - 2$ и $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.2.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.2.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.3.3.1

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 2 \cdot - 2 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.3.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x (x + 2) - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.3.5.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.6

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x (x - 2))}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.3.8.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.3.9

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.4

Объединим противоположные члены в $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 4 x - 2 x^{2} + 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.4.1

Добавим $- 4 x$ и $4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.4.2

Добавим $x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.5

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 4 - 2 x^{2})}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.4.6

Вычтем $2 x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{({(x + 2)}^{2})}^{2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{2 \cdot 2} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.5.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.9.5.2

Перемножим экспоненты в ${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.9.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 3.9.5.3

Сократим общий множитель $x + 2$ и ${(x + 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.3.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $56 (x + 2) (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((56 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 3.9.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.3.2.1

Вынесем множитель $x + 2$ из ${(x + 2)}^{4} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((56 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Этап 3.9.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{(x + 2) ((56 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4))}{(x + 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4})}$

Этап 3.9.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{(56 (x - 2)) (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 3.9.5.4

Сократим общий множитель $x - 2$ и ${(x - 2)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.4.1

Вынесем множитель $x - 2$ из $56 (x - 2) (- 3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (56 (- 3 x^{2} - 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}}$

Этап 3.9.5.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.5.4.2.1

Вынесем множитель $x - 2$ из ${(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (56 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Этап 3.9.5.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - \frac{(x - 2) (56 (- 3 x^{2} - 4))}{(x - 2) ({(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3})}$

Этап 3.9.5.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - \frac{56 (- 3 x^{2} - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 3.9.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (- (3 x^{2}) - 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 3.9.7

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 3.9.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (4)$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (- (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 3.9.9

Перепишем $- (3 x^{2} + 4)$ в виде $- 1 (3 x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{56 (- 1 (3 x^{2} + 4))}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 3.9.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{56 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 3.9.11

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{56 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}})$

Этап 3.9.12

Умножим $\frac{56 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{56 (3 x^{2} + 4)}{{(x + 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 4}]$

Этап 5.1.2

$7 \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 \frac{(x^{2} - 4) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.3.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 4$ .

$7 \frac{2 \cdot (x^{2} - 4) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.3.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.6

Добавим $1$ и $2$ .

$7 \frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.7

Объединим $7$ и $\frac{2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{7 (2 (x^{2} - 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (2 x^{2} x + 2 \cdot - 4 x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{7 (2 x^{2} x) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.4.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{7 (2 (x \cdot x^{2})) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.4.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.4.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{7 (2 (x^{1} x^{2})) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{7 (2 x^{1 + 2}) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{7 (2 x^{3}) + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.4.1.2

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (2 \cdot - 4 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.4.1.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{14 x^{3} + 7 (- 8 x) + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.4.1.4

Умножим $- 8$ на $7$ .

$\frac{14 x^{3} - 56 x + 7 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.4.1.5

Умножим $- 2$ на $7$ .

$\frac{14 x^{3} - 56 x - 14 x^{3}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.4.2

Объединим противоположные члены в $14 x^{3} - 56 x - 14 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.4.2.1

Вычтем $14 x^{3}$ из $14 x^{3}$ .

$\frac{- 56 x + 0}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.4.2.2

Добавим $- 56 x$ и $0$ .

$\frac{- 56 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{56 x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Этап 5.1.8.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.8.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- \frac{56 x}{{(x^{2} - 2^{2})}^{2}}$

Этап 5.1.8.6.2

$- \frac{56 x}{{((x + 2) (x - 2))}^{2}}$

Этап 5.1.8.6.3

Применим правило умножения к $(x + 2) (x - 2)$ .

$f' (x) = - \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}} = 0$

Этап 6.2

Приравняем числитель к нулю.

$56 x = 0$

Этап 6.3

Разделим каждый член $56 x = 0$ на $56$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $56 x = 0$ на $56$ .

$\frac{56 x}{56} = \frac{0}{56}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $56$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{56 x}{56} = \frac{0}{56}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{56}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим $0$ на $56$ .

$x = 0$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Зададим знаменатель в $\frac{56 x}{{(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 7.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 7.2.2

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 7.2.2.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 7.2.2.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 7.2.3

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 7.2.3.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 7.2.3.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = - 2, 2$

Этап 7.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{56 (3 {(0)}^{2} + 4)}{{((0) + 2)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{56 (3 \cdot 0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 10.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{56 (0 + 4)}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 10.1.3

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{56 \cdot 4}{{(0 + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 10.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$\frac{56 \cdot 4}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 10.2.2

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{56 \cdot 4}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 10.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$\frac{56 \cdot 4}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 10.2.4

Применим правило умножения к $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$\frac{56 \cdot 4}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 10.2.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{56 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 10.2.6

Умножим ${(0 - 2)}^{3}$ на ${(0 - 2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Перенесем ${(0 - 2)}^{3}$ .

$\frac{56 \cdot 4}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3})}$

Этап 10.2.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{56 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3}}$

Этап 10.2.6.3

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{56 \cdot 4}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Этап 10.3

Умножим $56$ на $4$ .

$\frac{224}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6}}$

Этап 10.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{224}{- 1 {(- 2)}^{6}}$

Этап 10.4.2

Возведем $- 2$ в степень $6$ .

$\frac{224}{- 1 \cdot 64}$

Этап 10.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $- 1$ на $64$ .

$\frac{224}{- 64}$

Этап 10.5.2

Сократим общий множитель $224$ и $- 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Вынесем множитель $32$ из $224$ .

$\frac{32 (7)}{- 64}$

Этап 10.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Вынесем множитель $32$ из $- 64$ .

$\frac{32 \cdot 7}{32 \cdot - 2}$

Этап 10.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{32 \cdot 7}{32 \cdot - 2}$

Этап 10.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{- 2}$

Этап 10.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7}{2}$

Этап 11

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{7 {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 4}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{7 \cdot 0}{0^{2} - 4}$

Этап 12.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{7 \cdot 0}{0 - 4}$

Этап 12.2.2.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$f (0) = \frac{7 \cdot 0}{- 4}$

Этап 12.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Умножим $7$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{- 4}$

Этап 12.2.3.2

Разделим $0$ на $- 4$ .

$f (0) = 0$

Этап 12.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{7 x^{2}}{x^{2} - 4}$ .

$(0, 0)$ — локальный максимум

Этап 14