Математический анализ Примеры

$\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Этап 1

Запишем $\frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Сократим общий множитель $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4 e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Этап 2.1.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Этап 2.1.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Этап 2.1.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Этап 2.1.1.4.4

Разделим $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 2.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{- x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Этап 2.5.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Этап 3.2.2

$f'' (x) = 2 e^{x} + \frac{d}{d x} (- 2 e^{- x})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{- x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} e^{- x}$

Этап 3.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 3.3.2.2

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 3.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 3.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 3.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 3.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 3.3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} - 2 (- e^{- x})$

Этап 3.3.8

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 e^{x} + 2 e^{- x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Сократим общий множитель $4 e^{x} + 4 e^{- x}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 4 e^{- x}}{2}]$

Этап 5.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4 e^{- x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})}{2}]$

Этап 5.1.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 e^{x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2}]$

Этап 5.1.1.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 (1)}]$

Этап 5.1.1.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 (2 e^{x} + 2 e^{- x})}{2 \cdot 1}]$

Этап 5.1.1.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 e^{x} + 2 e^{- x}}{1}]$

Этап 5.1.1.1.4.4

Разделим $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x} + 2 e^{- x}]$

Этап 5.1.1.2

По правилу суммы производная $2 e^{x} + 2 e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 5.1.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 5.1.2

$2 e^{x} + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$

Этап 5.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{- x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$2 e^{x} + 2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 5.1.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 5.1.4.2

$2 e^{x} + 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 5.1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$2 e^{x} + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 5.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{x} + 2 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.5.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} \cdot 1$

Этап 5.1.5.4

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f' (x) = 2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 e^{x} - 2 e^{- x}$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 e^{x} - 2 e^{- x} = 0$

Этап 6.2

Перенесем $- 2 e^{- x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$2 e^{x} = 2 e^{- x}$

Этап 6.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (2 e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Этап 6.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $\ln (2 e^{x})$ в виде $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{x}) = \ln (2 e^{- x})$

Этап 6.4.2

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$\ln (2) + x \ln (e) = \ln (2 e^{- x})$

Этап 6.4.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (2) + x \cdot 1 = \ln (2 e^{- x})$

Этап 6.4.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2 e^{- x})$

Этап 6.5

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем $\ln (2 e^{- x})$ в виде $\ln (2) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) + \ln (e^{- x})$

Этап 6.5.2

Развернем $\ln (e^{- x})$ , вынося $- x$ из логарифма.

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \ln (e)$

Этап 6.5.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x \cdot 1$

Этап 6.5.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (2) + x = \ln (2) - x$

Этап 6.6

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (2) - \ln (2) = - x - x$

Этап 6.7

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{2}{2}) = - x - x$

Этап 6.8

Разделим $2$ на $2$ .

$\ln (1) = - x - x$

Этап 6.9

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$0 = - x - x$

Этап 6.10

Вычтем $x$ из $- x$ .

$0 = - 2 x$

Этап 6.11

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$- 2 x = 0$

Этап 6.12

Разделим каждый член $- 2 x = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1

Разделим каждый член $- 2 x = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 6.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 6.12.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{- 2}$

Этап 6.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

$x = 0$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Этап 10.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 e^{- (0)}$

Этап 10.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 + 2 e^{0}$

Этап 10.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 + 2 \cdot 1$

Этап 10.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2$

Этап 10.2

Добавим $2$ и $2$ .

$4$

Этап 11

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{4 e^{0} + 4 e^{- (0)}}{2}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим общий множитель $4 e^{0} + 4 e^{- (0)}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 e^{0}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 4 e^{- (0)}}{2}$

Этап 12.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $4 e^{- (0)}$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})}{2}$

Этап 12.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 e^{0}) + 2 (2 e^{- (0)})$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2}$

Этап 12.2.1.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 (1)}$

Этап 12.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (0) = \frac{2 (2 e^{0} + 2 e^{- (0)})}{2 \cdot 1}$

Этап 12.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (0) = \frac{2 e^{0} + 2 e^{- (0)}}{1}$

Этап 12.2.1.4.4

Разделим $2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$ на $1$ .

$f (0) = 2 e^{0} + 2 e^{- (0)}$

Этап 12.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 2 \cdot 1 + 2 e^{- (0)}$

Этап 12.2.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{- (0)}$

Этап 12.2.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 2 + 2 e^{0}$

Этап 12.2.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 2 + 2 \cdot 1$

Этап 12.2.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f (0) = 2 + 2$

Этап 12.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f (0) = 4$

Этап 12.2.4

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{4 e^{x} + 4 e^{- x}}{2}$ .

$(0, 4)$ — локальный минимум

Этап 14