Математический анализ Примеры

$3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$

Этап 1

Запишем $3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 2.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$15 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{4}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 3.2.3

Умножим $4$ на $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{2}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 24 x + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $60 x^{3} - 24 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 24 x$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$15 x^{4} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Этап 5.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 \cdot 1$

Этап 5.1.4.3

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 = 0$

Этап 6.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$15 u^{2} - 12 u - 3 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 6.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $3$ из $15 u^{2} - 12 u - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Вынесем множитель $3$ из $15 u^{2}$ .

$3 (5 u^{2}) - 12 u - 3 = 0$

Этап 6.3.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12 u$ .

$3 (5 u^{2}) + 3 (- 4 u) - 3 = 0$

Этап 6.3.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$3 (5 u^{2}) + 3 (- 4 u) + 3 (- 1) = 0$

Этап 6.3.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (5 u^{2}) + 3 (- 4 u)$ .

$3 (5 u^{2} - 4 u) + 3 (- 1) = 0$

Этап 6.3.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (5 u^{2} - 4 u) + 3 (- 1)$ .

$3 (5 u^{2} - 4 u - 1) = 0$

Этап 6.3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 5 \cdot - 1 = - 5$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 u$ .

$3 (5 u^{2} - 4 u - 1) = 0$

Этап 6.3.2.1.1.2

Запишем $- 4$ как $1$ плюс $- 5$

$3 (5 u^{2} + (1 - 5) u - 1) = 0$

Этап 6.3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (5 u^{2} + 1 u - 5 u - 1) = 0$

Этап 6.3.2.1.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$3 (5 u^{2} + u - 5 u - 1) = 0$

Этап 6.3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$3 ((5 u^{2} + u) - 5 u - 1) = 0$

Этап 6.3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 (u (5 u + 1) - (5 u + 1)) = 0$

Этап 6.3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $5 u + 1$ .

$3 ((5 u + 1) (u - 1)) = 0$

Этап 6.3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (5 u + 1) (u - 1) = 0$

Этап 6.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Этап 6.5

Приравняем $5 u + 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $5 u + 1$ к $0$ .

$5 u + 1 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $5 u + 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$5 u = - 1$

Этап 6.5.2.2

Разделим каждый член $5 u = - 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Разделим каждый член $5 u = - 1$ на $5$ .

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 1}{5}$

Этап 6.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 u}{5} = \frac{- 1}{5}$

Этап 6.5.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{- 1}{5}$

Этап 6.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{5}$

Этап 6.6

Приравняем $u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 6.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 6.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (5 u + 1) (u - 1) = 0$ верно.

$u = - \frac{1}{5}, 1$

Этап 6.8

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = - \frac{1}{5}$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 6.9

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = - \frac{1}{5}$

Этап 6.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{5}}$

Этап 6.10.2

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.1

Перепишем $- \frac{1}{5}$ в виде $i^{2} \frac{1^{2}}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{5}}$

Этап 6.10.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{5}}$

Этап 6.10.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{5}}$

Этап 6.10.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{5}}$

Этап 6.10.2.4

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{5}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5}}$

Этап 6.10.2.5

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{5}}$

Этап 6.10.2.6

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Этап 6.10.2.7

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.7.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{5}}$ на $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Этап 6.10.2.7.2

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Этап 6.10.2.7.3

Возведем $\sqrt{5}$ в степень $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Этап 6.10.2.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Этап 6.10.2.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Этап 6.10.2.7.6

Перепишем ${\sqrt{5}}^{2}$ в виде $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.7.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5}$ в виде $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.10.2.7.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.10.2.7.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.10.2.7.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.2.7.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.10.2.7.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5^{1}}$

Этап 6.10.2.7.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{5}$

Этап 6.10.2.8

Объединим $i$ и $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{5}}{5}$

Этап 6.10.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i \sqrt{5}}{5}$

Этап 6.10.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i \sqrt{5}}{5}$

Этап 6.10.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i \sqrt{5}}{5}, - \frac{i \sqrt{5}}{5}$

Этап 6.11

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 1$

Этап 6.12

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 1$

Этап 6.12.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 6.12.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 6.12.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.12.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 6.12.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 6.12.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 6.13

Решением $15 x^{4} - 12 x^{2} - 3 = 0$ является $x = \frac{i \sqrt{5}}{5}, - \frac{i \sqrt{5}}{5}, 1, - 1$ .

$x = \frac{i \sqrt{5}}{5}, - \frac{i \sqrt{5}}{5}, 1, - 1$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1, - 1$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$60 {(1)}^{3} - 24 \cdot 1$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$60 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Этап 10.1.2

Умножим $60$ на $1$ .

$60 - 24 \cdot 1$

Этап 10.1.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$60 - 24$

Этап 10.2

Вычтем $24$ из $60$ .

$36$

Этап 11

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = 3 {(1)}^{5} - 4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Этап 12.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$f (1) = 3 - 4 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Этап 12.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 3 - 4 \cdot 1 - 3 \cdot 1$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f (1) = 3 - 4 - 3 \cdot 1$

Этап 12.2.1.5

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f (1) = 3 - 4 - 3$

Этап 12.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вычтем $4$ из $3$ .

$f (1) = - 1 - 3$

Этап 12.2.2.2

Вычтем $3$ из $- 1$ .

$f (1) = - 4$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$60 {(- 1)}^{3} - 24 \cdot - 1$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$60 \cdot - 1 - 24 \cdot - 1$

Этап 14.1.2

Умножим $60$ на $- 1$ .

$- 60 - 24 \cdot - 1$

Этап 14.1.3

Умножим $- 24$ на $- 1$ .

$- 60 + 24$

Этап 14.2

Добавим $- 60$ и $24$ .

$- 36$

Этап 15

$x = - 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = 3 {(- 1)}^{5} - 4 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- 1) = 3 \cdot - 1 - 4 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1$

Этап 16.2.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 - 4 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1$

Этап 16.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = - 3 - 4 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1$

Этап 16.2.1.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 4 - 3 \cdot - 1$

Этап 16.2.1.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 + 4 + 3$

Этап 16.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Добавим $- 3$ и $4$ .

$f (- 1) = 1 + 3$

Этап 16.2.2.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (- 1) = 4$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $4$ .

$y = 4$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x^{5} - 4 x^{3} - 3 x$ .

$(1, - 4)$ — локальный минимум

$(- 1, 4)$ — локальный максимум

Этап 18