Математический анализ Примеры

$- 9 x - x^{2}$

Этап 1

Запишем $- 9 x - x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = - 9 x - x^{2}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 9 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.2.3

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 9 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 9 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 9 - (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 9 - 2 x$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$- 2 x - 9$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 2 x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (- 9)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 9)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 9)$

Этап 3.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (- 9)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 x - 9 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $- 9 x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $- 9$ на $1$ .

$- 9 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 9 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 9 - (2 x)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 9 - 2 x$

Этап 5.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 2 x - 9$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x - 9$ .

$- 2 x - 9$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x - 9 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 x - 9 = 0$

Этап 6.2

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x = 9$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- 2 x = 9$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- 2 x = 9$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{9}{- 2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{9}{- 2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{9}{- 2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{9}{2}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{9}{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - \frac{9}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2$

Этап 10

$x = - \frac{9}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{9}{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{9}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = - 9 (- \frac{9}{2}) - {(- \frac{9}{2})}^{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим $- 9 (- \frac{9}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 9$ .

$f (- \frac{9}{2}) = 9 (\frac{9}{2}) - {(- \frac{9}{2})}^{2}$

Этап 11.2.1.1.2

Объединим $9$ и $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{9 \cdot 9}{2} - {(- \frac{9}{2})}^{2}$

Этап 11.2.1.1.3

Умножим $9$ на $9$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2} - {(- \frac{9}{2})}^{2}$

Этап 11.2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2})$

Этап 11.2.1.2.2

Применим правило умножения к $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2} - ({(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}}))$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{9^{2}}{2^{2}})$

Этап 11.2.1.3.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{9^{2}}{2^{2}}))$

Этап 11.2.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{9^{2}}{2^{2}})$

Этап 11.2.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2} + {(- 1)}^{3} (\frac{9^{2}}{2^{2}})$

Этап 11.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2} - \frac{9^{2}}{2^{2}}$

Этап 11.2.1.5

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2} - \frac{81}{2^{2}}$

Этап 11.2.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2} - \frac{81}{4}$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $\frac{81}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{4}$

Этап 11.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{81}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{81}{4}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 \cdot 2}{4} - \frac{81}{4}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 \cdot 2 - 81}{4}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $81$ на $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{162 - 81}{4}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $81$ из $162$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{81}{4}$ .

$y = \frac{81}{4}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = - 9 x - x^{2}$ .

$(- \frac{9}{2}, \frac{81}{4})$ — локальный максимум

Этап 13