Математический анализ Примеры

$f (x, y) = x y + y - 16 x$

Этап 1

Запишем $f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$ в виде функции.

$f (x) = f (x, y) - x y - y + 16 x$

Этап 2

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $x y$ из обеих частей уравнения.

$f (x, y) - x y = y - 16 x$

Этап 2.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$f (x, y) - x y - y = - 16 x$

Этап 2.3

Добавим $16 x$ к обеим частям уравнения.

$f (x, y) - x y - y + 16 x = 0$

Этап 3

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $f (x, y) - x y - y + 16 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Этап 3.2

Умножим $f$ на каждый элемент матрицы.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Этап 3.4

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Этап 3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Этап 3.5.3

Умножим $16$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ и $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Этап 3.6.2

Изменим порядок членов.

$- y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Этап 4

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- y) + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 4.1.2

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 4.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на каждый элемент матрицы.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 4.2.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $f x$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 4.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 4.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 4.2.3.2

Умножим $\frac{1}{x} (f y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Объединим $f$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 4.2.3.2.2

Объединим $\frac{f}{x}$ и $y$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (16)$

Этап 4.3

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Этап 4.4.2

Добавим $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Этап 5

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Этап 6

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Этап 6.1.2

Умножим $f$ на каждый элемент матрицы.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Этап 6.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Этап 6.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [16 x]$

Этап 6.1.4

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + \frac{d}{d x} [16 x]$

Этап 6.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.5.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16 x$ по $x$ равна $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16 \cdot 1$

Этап 6.1.5.3

Умножим $16$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 0 + 16$

Этап 6.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.6.1

Добавим $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y$ и $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - y + 16$

Этап 6.1.6.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - y + \frac{d}{d x} [(f x, f y)] + 16$

Этап 6.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16$

Этап 7

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- y + \frac{d}{d x} ((f x, f y)) + 16 = 0$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$- y + \frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Этап 7.2.1.2

Перепишем это выражение.

$- y + \frac{1}{x} \cdot (f x, f y) + 16 = 0$

Этап 7.2.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на каждый элемент матрицы.

$- y + (\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Этап 7.2.3

Упростим каждый элемент матрицы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $f x$ .

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Этап 7.2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$- y + (\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Этап 7.2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$- y + (f, \frac{1}{x} (f y)) + 16 = 0$

Этап 7.2.3.2

Умножим $\frac{1}{x} (f y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Объединим $f$ и $\frac{1}{x}$ .

$- y + (f, \frac{f}{x} y) + 16 = 0$

Этап 7.2.3.2.2

Объединим $\frac{f}{x}$ и $y$ .

$- y + (f, \frac{f y}{x}) + 16 = 0$

Этап 7.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$(f, \frac{f y}{x}) + 16 = y$

Этап 7.3.2

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$(f, \frac{f y}{x}) = y - 16$

Этап 8

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим знаменатель в $\frac{d}{d x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$d x = 0$

Этап 8.2

Разделим каждый член $d x = 0$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Разделим каждый член $d x = 0$ на $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Этап 8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Этап 8.2.2.1.2

Разделим $d$ на $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Разделим $0$ на $x$ .

$d = 0$

Этап 8.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$y = 0$

Этап 9

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 10

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $d$ на $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Этап 11.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 12

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 13