Математический анализ Примеры

$y = \cot (9 x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 1.1.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x$ .

$- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.2.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 9 \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 9 \csc^{2} (9 x) \cdot 1$

Этап 1.2.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$f' (x) = - 9 \csc^{2} (9 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 \csc^{2} (9 x)$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (9 x)$ .

$- 9 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 9 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (9 x)$ .

$- 9 (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$- 18 (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $9 x$ .

$- 18 \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.4.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- 18 \csc (9 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $9 x$ .

$- 18 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.5

Умножим $- 1$ на $- 18$ .

$18 \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.6

Возведем $\csc (9 x)$ в степень $1$ .

$18 (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.7

Возведем $\csc (9 x)$ в степень $1$ .

$18 (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$18 {\csc (9 x)}^{1 + 1} (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$18 \csc^{2} (9 x) (\cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 2.10

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.11

Умножим $9$ на $18$ .

$162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x) \cdot 1$

Этап 2.13

Умножим $162$ на $1$ .

$f'' (x) = 162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $162$ является константой относительно $x$ , производная $162 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)$ по $x$ равна $162 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x) \cot (9 x)]$ .

$162 \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x) \cot (9 x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \csc^{2} (9 x)$ и $g (x) = \cot (9 x)$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot (9 x)] + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $9 x$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cot (u_{1})] \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Этап 3.3.2

Производная $\cot (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc^{2} (u_{1})$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) (- \csc^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $9 x$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) (- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Этап 3.4

Умножим $\csc^{2} (9 x)$ на $\csc^{2} (9 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $\csc^{2} (9 x)$ .

$162 (\csc^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) (- \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Этап 3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$162 ({\csc (9 x)}^{2 + 2} (- \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Этап 3.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) (- \frac{d}{d x} [9 x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Этап 3.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) (- (9 \frac{d}{d x} [x])) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Этап 3.5.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) (- 9 \frac{d}{d x} [x]) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Этап 3.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) (- 9 \cdot 1) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Этап 3.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Умножим $- 9$ на $1$ .

$162 (\csc^{4} (9 x) \cdot - 9 + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Этап 3.5.4.2

Перенесем $- 9$ влево от $\csc^{4} (9 x)$ .

$162 (- 9 \cdot \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)])$

Этап 3.6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\csc (9 x)$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]))$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]))$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\csc (9 x)$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + \cot (9 x) (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]))$

Этап 3.7

Перенесем $2$ влево от $\cot (9 x)$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cdot \cot (9 x) \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Этап 3.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $9 x$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [\csc (u_{3})] \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 3.8.2

Производная $\csc (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \csc (u_{3}) \cot (u_{3})$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (- \csc (u_{3}) \cot (u_{3}) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 3.8.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $9 x$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) + 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 3.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot (9 x) \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 3.10

Возведем $\cot (9 x)$ в степень $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 (\cot^{1} (9 x) \cot (9 x)) \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 3.11

Возведем $\cot (9 x)$ в степень $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 (\cot^{1} (9 x) \cot^{1} (9 x)) \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 3.12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 {\cot (9 x)}^{1 + 1} \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 3.13

Добавим $1$ и $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) \csc (9 x) (\csc (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 3.14

Возведем $\csc (9 x)$ в степень $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 3.15

Возведем $\csc (9 x)$ в степень $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 3.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) {\csc (9 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 3.17

Добавим $1$ и $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])$

Этап 3.18

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 2 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.19

Умножим $9$ на $- 2$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.20

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) \cdot 1)$

Этап 3.21

Умножим $- 18$ на $1$ .

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x) - 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x))$

Этап 3.22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$162 (- 9 \csc^{4} (9 x)) + 162 (- 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x))$

Этап 3.22.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.22.2.1

Умножим $- 9$ на $162$ .

$- 1458 \csc^{4} (9 x) + 162 (- 18 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x))$

Этап 3.22.2.2

Умножим $- 18$ на $162$ .

$- 1458 \csc^{4} (9 x) - 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)$

Этап 3.22.3

Изменим порядок членов.

$f''' (x) = - 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) - 1458 \csc^{4} (9 x)$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) - 1458 \csc^{4} (9 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)] + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)] + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $- 2916$ является константой относительно $x$ , производная $- 2916 \cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)$ по $x$ равна $- 2916 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)]$ .

$- 2916 \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x)] + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.2

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (9 x)] + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.3.2

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)]) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [9 x])) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.4.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [9 x])) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x])) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.5

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x]))) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [\cot^{2} (9 x)]) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\cot (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cot (9 x)])) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\cot (9 x)])) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.7.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\cot (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) \frac{d}{d x} [\cot (9 x)])) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\cot (u_{4})] \frac{d}{d x} [9 x]))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.8.2

Производная $\cot (u_{4})$ по $u_{4}$ равна $- \csc^{2} (u_{4})$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [9 x]))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.8.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.9

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.11

Умножим $9$ на $1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \cdot 9)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.12

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (2 \csc (9 x) (- 9 \csc (9 x) \cot (9 x))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.13

Умножим $- 9$ на $2$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 \csc (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x))) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.14

Возведем $\csc (9 x)$ в степень $1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 (\csc^{1} (9 x) \csc (9 x)) \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.15

Возведем $\csc (9 x)$ в степень $1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 (\csc^{1} (9 x) \csc^{1} (9 x)) \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 {\csc (9 x)}^{1 + 1} \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.17

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2916 (\cot^{2} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x) \cot (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.18

Умножим $\cot^{2} (9 x)$ на $\cot (9 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.18.1

Перенесем $\cot (9 x)$ .

$- 2916 (\cot (9 x) \cot^{2} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.18.2

Умножим $\cot (9 x)$ на $\cot^{2} (9 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.18.2.1

Возведем $\cot (9 x)$ в степень $1$ .

$- 2916 (\cot^{1} (9 x) \cot^{2} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.18.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2916 ({\cot (9 x)}^{1 + 2} (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.18.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) (9 \cdot 1)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.19

Умножим $9$ на $1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- \csc^{2} (9 x) \cdot 9))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.20

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (2 \cot (9 x) (- 9 \csc^{2} (9 x)))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.21

Умножим $- 9$ на $2$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) (- 18 \cot (9 x) \csc^{2} (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.22

Умножим $\csc^{2} (9 x)$ на $\csc^{2} (9 x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.22.1

Перенесем $\csc^{2} (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{2} (9 x) \csc^{2} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.22.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + {\csc (9 x)}^{2 + 2} (- 18 \cot (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.2.22.3

Добавим $2$ и $2$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + \frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 1458 \csc^{4} (9 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1458$ является константой относительно $x$ , производная $- 1458 \csc^{4} (9 x)$ по $x$ равна $- 1458 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (9 x)]$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 \frac{d}{d x} [\csc^{4} (9 x)]$

Этап 4.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{5}$ как $\csc (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{4}] \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Этап 4.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{5}} [{u_{5}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{5}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 {u_{5}}^{3} \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Этап 4.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{5}$ на $\csc (9 x)$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) \frac{d}{d x} [\csc (9 x)])$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{6}$ как $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (\frac{d}{d u_{6}} [\csc (u_{6})] \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 4.3.3.2

Производная $\csc (u_{6})$ по $u_{6}$ равна $- \csc (u_{6}) \cot (u_{6})$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (u_{6}) \cot (u_{6}) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{6}$ на $9 x$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \frac{d}{d x} [9 x]))$

Этап 4.3.4

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 4.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) (9 \cdot 1)))$

Этап 4.3.6

Умножим $9$ на $1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- \csc (9 x) \cot (9 x) \cdot 9))$

Этап 4.3.7

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (4 \csc^{3} (9 x) (- 9 \csc (9 x) \cot (9 x)))$

Этап 4.3.8

Умножим $- 9$ на $4$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 \csc^{3} (9 x) (\csc (9 x) \cot (9 x)))$

Этап 4.3.9

Возведем $\csc (9 x)$ в степень $1$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 (\csc^{1} (9 x) \csc^{3} (9 x)) \cot (9 x))$

Этап 4.3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 {\csc (9 x)}^{1 + 3} \cot (9 x))$

Этап 4.3.11

Добавим $1$ и $3$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) - 1458 (- 36 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x))$

Этап 4.3.12

Умножим $- 36$ на $- 1458$ .

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x)) + \csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2916 (\cot^{3} (9 x) (- 18 \csc^{2} (9 x))) - 2916 (\csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

Этап 4.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $- 18$ на $- 2916$ .

$52488 (\cot^{3} (9 x) (\csc^{2} (9 x))) - 2916 (\csc^{4} (9 x) (- 18 \cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

Этап 4.4.2.2

Умножим $- 18$ на $- 2916$ .

$52488 \cot^{3} (9 x) \csc^{2} (9 x) + 52488 (\csc^{4} (9 x) (\cot (9 x))) + 52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$

Этап 4.4.2.3

Добавим $52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$ и $52488 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$ .

$f^{4} (x) = 52488 \cot^{3} (9 x) \csc^{2} (9 x) + 104976 \csc^{4} (9 x) \cot (9 x)$