Математический анализ Примеры

$y = 2 x^{3} e^{x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3} e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2}))$

Этап 1.5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 e^{x} x^{2}$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$2 e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2}$

Этап 1.5.4

Изменим порядок множителей в $2 e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2}$ .

$f' (x) = 2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3} e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Этап 2.2.2

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Этап 2.2.3

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{2} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{2} e^{x}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Этап 2.3.2

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3.3

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{3} e^{x}) + 2 (e^{x} (3 x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x}) + 6 (e^{x} (2 x))$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 (e^{x} (x^{2})) + 6 (x^{2} e^{x}) + 6 (e^{x} (2 x))$

Этап 2.4.3.2

Умножим $2$ на $6$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 e^{x} x^{2} + 6 x^{2} e^{x} + 12 (e^{x} (x))$

Этап 2.4.3.3

Добавим $6 e^{x} x^{2}$ и $6 x^{2} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.3.1

Перенесем $e^{x}$ .

$2 x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} x$

Этап 2.4.3.3.2

Добавим $6 x^{2} e^{x}$ и $6 x^{2} e^{x}$ .

$2 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} + 12 e^{x} x$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$2 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} + 12 e^{x} x$

Этап 2.4.5

Изменим порядок множителей в $2 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2} + 12 e^{x} x$ .

$f'' (x) = 2 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} + 12 x e^{x}$