Математический анализ Примеры

$f (θ) = 3 \tan^{2} (θ)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $θ$ , производная $3 \tan^{2} (θ)$ по $θ$ равна $3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$ .

$3 \frac{d}{d θ} [\tan^{2} (θ)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{2}$ и $g (θ) = \tan (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\tan (θ)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (θ)$ .

$3 (2 \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Этап 1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 (\tan (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)])$

Этап 1.4

Производная $\tan (θ)$ по $θ$ равна $\sec^{2} (θ)$ .

$6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$

Этап 1.5

Изменим порядок множителей в $6 \tan (θ) \sec^{2} (θ)$ .

$f' (θ) = 6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $θ$ , производная $6 \sec^{2} (θ) \tan (θ)$ по $θ$ равна $6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$ .

$6 \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ) \tan (θ)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ имеет вид $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ , где $f (θ) = \sec^{2} (θ)$ и $g (θ) = \tan (θ)$ .

$6 (\sec^{2} (θ) \frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Этап 2.3

Производная $\tan (θ)$ по $θ$ равна $\sec^{2} (θ)$ .

$6 (\sec^{2} (θ) \sec^{2} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Этап 2.4

Умножим $\sec^{2} (θ)$ на $\sec^{2} (θ)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 ({\sec (θ)}^{2 + 2} + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ и $2$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) \frac{d}{d θ} [\sec^{2} (θ)])$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 u \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + \tan (θ) (2 \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)]))$

Этап 2.6

Перенесем $2$ влево от $\tan (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \cdot \tan (θ) \sec (θ) \frac{d}{d θ} [\sec (θ)])$

Этап 2.7

Производная $\sec (θ)$ по $θ$ равна $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ)))$

Этап 2.8

Возведем $\tan (θ)$ в степень $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

Этап 2.9

Возведем $\tan (θ)$ в степень $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 (\tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ)) \sec (θ) \sec (θ))$

Этап 2.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) \sec (θ))$

Этап 2.11

Добавим $1$ и $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec (θ) \sec (θ))$

Этап 2.12

Возведем $\sec (θ)$ в степень $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)))$

Этап 2.13

Возведем $\sec (θ)$ в степень $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)))$

Этап 2.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1})$

Этап 2.15

Добавим $1$ и $1$ .

$6 (\sec^{4} (θ) + 2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

Этап 2.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 \sec^{4} (θ) + 6 (2 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ))$

Этап 2.16.2

Умножим $2$ на $6$ .

$6 \sec^{4} (θ) + 12 \tan^{2} (θ) \sec^{2} (θ)$

Этап 2.16.3

Изменим порядок членов.

$f'' (θ) = 12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$

Этап 3

Вторая производная $f (θ)$ по $θ$ равна $12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$ .

$12 \sec^{2} (θ) \tan^{2} (θ) + 6 \sec^{4} (θ)$