Математический анализ Примеры

$f (x) = {(5 x + 6)}^{2}$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью правила умножения. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Перепишем ${(5 x + 6)}^{2}$ в виде $(5 x + 6) (5 x + 6)$ .

$\frac{d}{d x} [(5 x + 6) (5 x + 6)]$

Этап 3

Развернем $(5 x + 6) (5 x + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x + 6) + 6 (5 x + 6)]$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 6 + 6 (5 x + 6)]$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [5 x (5 x) + 5 x \cdot 6 + 6 (5 x) + 6 \cdot 6]$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x \cdot x + 5 x \cdot 6 + 6 (5 x) + 6 \cdot 6]$

Этап 4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 (x \cdot x) + 5 x \cdot 6 + 6 (5 x) + 6 \cdot 6]$

Этап 4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cdot 5 x^{2} + 5 x \cdot 6 + 6 (5 x) + 6 \cdot 6]$

Этап 4.1.3

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 5 x \cdot 6 + 6 (5 x) + 6 \cdot 6]$

Этап 4.1.4

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 30 x + 6 (5 x) + 6 \cdot 6]$

Этап 4.1.5

Умножим $5$ на $6$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 30 x + 30 x + 6 \cdot 6]$

Этап 4.1.6

Умножим $6$ на $6$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 30 x + 30 x + 36]$

Этап 4.2

Добавим $30 x$ и $30 x$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2} + 60 x + 36]$

Этап 5

По правилу суммы производная $25 x^{2} + 60 x + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Этап 6

Поскольку $25$ является константой относительно $x$ , производная $25 x^{2}$ по $x$ равна $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$25 (2 x) + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Этап 8

Умножим $2$ на $25$ .

$50 x + \frac{d}{d x} [60 x] + \frac{d}{d x} [36]$

Этап 9

Поскольку $60$ является константой относительно $x$ , производная $60 x$ по $x$ равна $60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$50 x + 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36]$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$50 x + 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36]$

Этап 11

Умножим $60$ на $1$ .

$50 x + 60 + \frac{d}{d x} [36]$

Этап 12

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$50 x + 60 + 0$

Этап 13

Добавим $50 x + 60$ и $0$ .

$50 x + 60$