Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 0}^{3} {(- \frac{1}{2})}^{n} \cdot (4)$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $n$ .

${(- \frac{1}{2})}^{0} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

${(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$1 \frac{1^{0}}{2^{0}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.3

Умножим $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ на $1$ .

$\frac{1^{0}}{2^{0}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{2^{0}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1}{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.6

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.7

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + {(- \frac{1}{2})}^{1} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.8

Упростим.

$4 - \frac{1}{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$4 + \frac{- 1}{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.9.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$4 + \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2)) + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.9.3

Сократим общий множитель.

$4 + \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.9.4

Перепишем это выражение.

$4 - 1 \cdot 2 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.10

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 - 2 + {(- \frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.11

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$4 - 2 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.11.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$4 - 2 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$4 - 2 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.13

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$4 - 2 + \frac{1^{2}}{2^{2}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.14

Единица в любой степени равна единице.

$4 - 2 + \frac{1}{2^{2}} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.15

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 - 2 + \frac{1}{4} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.16

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Сократим общий множитель.

$4 - 2 + \frac{1}{4} \cdot 4 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.16.2

Перепишем это выражение.

$4 - 2 + 1 + {(- \frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.17

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.17.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$4 - 2 + 1 + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3} \cdot 4$

Этап 2.1.17.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$4 - 2 + 1 + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}} \cdot 4$

Этап 2.1.18

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$4 - 2 + 1 - \frac{1^{3}}{2^{3}} \cdot 4$

Этап 2.1.19

Единица в любой степени равна единице.

$4 - 2 + 1 - \frac{1}{2^{3}} \cdot 4$

Этап 2.1.20

Возведем $2$ в степень $3$ .

$4 - 2 + 1 - \frac{1}{8} \cdot 4$

Этап 2.1.21

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.21.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$4 - 2 + 1 + \frac{- 1}{8} \cdot 4$

Этап 2.1.21.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$4 - 2 + 1 + \frac{- 1}{4 (2)} \cdot 4$

Этап 2.1.21.3

Сократим общий множитель.

$4 - 2 + 1 + \frac{- 1}{4 \cdot 2} \cdot 4$

Этап 2.1.21.4

Перепишем это выражение.

$4 - 2 + 1 + \frac{- 1}{2}$

Этап 2.1.22

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 - 2 + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Запишем $4$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{4}{1} - 2 + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{4}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} - 2 + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.4

Запишем $- 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{- 2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + 1 - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.7

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.8

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.9

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \cdot 2 - 2 \cdot 2 + 2 - 1}{2}$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 - 2 \cdot 2 + 2 - 1}{2}$

Этап 2.4.2

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{8 - 4 + 2 - 1}{2}$

Этап 2.5

Вычтем $4$ из $8$ .

$\frac{4 + 2 - 1}{2}$

Этап 2.6

Добавим $4$ и $2$ .

$\frac{6 - 1}{2}$

Этап 2.7

Вычтем $1$ из $6$ .

$\frac{5}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$2.5$

Форма смешанных чисел:

$2 \frac{1}{2}$