Математический анализ Примеры

$1.4 \sum_{k = 1}^{10} 49 - {(- 7 + 1.4 k)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(- 7 + 1.4 k)}^{2}$ в виде $(- 7 + 1.4 k) (- 7 + 1.4 k)$ .

$49 - ((- 7 + 1.4 k) (- 7 + 1.4 k))$

Этап 1.1.2

Развернем $(- 7 + 1.4 k) (- 7 + 1.4 k)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$49 - (- 7 (- 7 + 1.4 k) + 1.4 k (- 7 + 1.4 k))$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$49 - (- 7 \cdot - 7 - 7 (1.4 k) + 1.4 k (- 7 + 1.4 k))$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$49 - (- 7 \cdot - 7 - 7 (1.4 k) + 1.4 k \cdot - 7 + 1.4 k (1.4 k))$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $- 7$ на $- 7$ .

$49 - (49 - 7 (1.4 k) + 1.4 k \cdot - 7 + 1.4 k (1.4 k))$

Этап 1.1.3.1.2

Умножим $1.4$ на $- 7$ .

$49 - (49 - 9.8 k + 1.4 k \cdot - 7 + 1.4 k (1.4 k))$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $- 7$ на $1.4$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 k (1.4 k))$

Этап 1.1.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 \cdot 1.4 k \cdot k)$

Этап 1.1.3.1.5

Умножим $k$ на $k$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.5.1

Перенесем $k$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 \cdot 1.4 (k \cdot k))$

Этап 1.1.3.1.5.2

Умножим $k$ на $k$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.4 \cdot 1.4 k^{2})$

Этап 1.1.3.1.6

Умножим $1.4$ на $1.4$ .

$49 - (49 - 9.8 k - 9.8 k + 1.96 k^{2})$

Этап 1.1.3.2

Вычтем $9.8 k$ из $- 9.8 k$ .

$49 - (49 - 19.6 k + 1.96 k^{2})$

Этап 1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$49 - 1 \cdot 49 - (- 19.6 k) - (1.96 k^{2})$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Умножим $- 1$ на $49$ .

$49 - 49 - (- 19.6 k) - (1.96 k^{2})$

Этап 1.1.5.2

Умножим $- 19.6$ на $- 1$ .

$49 - 49 + 19.6 k - (1.96 k^{2})$

Этап 1.1.5.3

Умножим $1.96$ на $- 1$ .

$49 - 49 + 19.6 k - 1.96 k^{2}$

Этап 1.2

Вычтем $49$ из $49$ .

$0 + 19.6 k - 1.96 k^{2}$

Этап 1.3

Добавим $0$ и $19.6 k$ .

$19.6 k - 1.96 k^{2}$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$1.4 \sum_{k = 1}^{10} 19.6 k - 1.96 k^{2}$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$1.4 \sum_{k = 1}^{10} 19.6 k - 1.96 k^{2} = (1.4 \cdot 19.6) \sum_{k = 1}^{10} k + (1.4 \cdot - 1.96) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$

Этап 3

Найдем значение $(1.4 \cdot 19.6) \sum_{k = 1}^{10} k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(1.4 \cdot 19.6) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Этап 3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $10$ и $1$ .

$1.4 \cdot 19.6 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Этап 3.3.2

Умножим $10$ на $11$ .

$1.4 \cdot 19.6 \frac{110}{2}$

Этап 3.3.3

Умножим $1.4$ на $19.6$ .

$27.44 (\frac{110}{2})$

Этап 3.3.4

Разделим $110$ на $2$ .

$27.44 \cdot 55$

Этап 3.3.5

Умножим $27.44$ на $55$ .

$1509.2$

Этап 4

Найдем значение $(1.4 \cdot - 1.96) \sum_{k = 1}^{10} k^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 4.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(1.4 \cdot - 1.96) (\frac{10 (10 + 1) (2 \cdot 10 + 1)}{6})$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Добавим $10$ и $1$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{10 \cdot 11 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Умножим $10$ на $11$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{110 (2 \cdot 10 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $2$ на $10$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{110 (20 + 1)}{6}$

Этап 4.3.1.3

Добавим $20$ и $1$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{110 \cdot 21}{6}$

Этап 4.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $110$ на $21$ .

$1.4 \cdot - 1.96 \frac{2310}{6}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $1.4$ на $- 1.96$ .

$- 2.744 (\frac{2310}{6})$

Этап 4.3.2.3

Разделим $2310$ на $6$ .

$- 2.744 \cdot 385$

Этап 4.3.2.4

Умножим $- 2.744$ на $385$ .

$- 1056.44$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$1509.2 - 1056.44$

Этап 6

Вычтем $1056.44$ из $1509.2$ .

$452.76$