Математический анализ Примеры

$- e^{x} (x - 7)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x} (x - 7)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 7)]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 7)]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x - 7$ .

$- (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 7] + (x - 7) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$- (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x - 7) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x - 7) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (e^{x} (1 + 0) + (x - 7) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- (e^{x} \cdot 1 + (x - 7) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$- (e^{x} + (x - 7) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- (e^{x} + (x - 7) e^{x})$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (e^{x} + x e^{x} - 7 e^{x})$

Этап 1.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- e^{x} - (x e^{x}) - (- 7 e^{x})$

Этап 1.1.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.3.1

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$- e^{x} - x e^{x} + 7 e^{x}$

Этап 1.1.5.3.2

Добавим $- e^{x}$ и $7 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 6 e^{x}$

Этап 1.1.5.4

Изменим порядок членов.

$- e^{x} x + 6 e^{x}$

Этап 1.1.5.5

Изменим порядок множителей в $- e^{x} x + 6 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 6 e^{x}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- x e^{x} + 6 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 6 e^{x}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- x e^{x} + 6 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- x e^{x} + 6 e^{x} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- x e^{x} + 6 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + 6 e^{x} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $6 e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 6 = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 6$ .

$e^{x} (- x + 6) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x + 6 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 2.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 2.5

Приравняем $- x + 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $- x + 6$ к $0$ .

$- x + 6 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $- x + 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 6$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 6$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 6$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Этап 2.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.3.1

Разделим $- 6$ на $- 1$ .

$x = 6$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (- x + 6) = 0$ верно.

$x = 6$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $- e^{x} (x - 7)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $6$ вместо $x$ .

$- e^{6} ((6) - 7)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Вычтем $7$ из $6$ .

$- e^{6} \cdot - 1$

Этап 4.1.2.2

Умножим $- e^{6} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 e^{6}$

Этап 4.1.2.2.2

Умножим $e^{6}$ на $1$ .

$e^{6}$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(6, e^{6})$

Этап 5