Математический анализ Примеры

$5 x - 4 \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $5 x - 4 \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 \ln (x)$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$5 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$5 - 4 \frac{1}{x}$

Этап 1.1.3.3

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x}$ .

$5 + \frac{- 4}{x}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 - \frac{4}{x}$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{4}{x} + 5$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{4}{x} + 5$ .

$- \frac{4}{x} + 5$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{4}{x} + 5 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{4}{x} + 5 = 0$

Этап 2.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{4}{x} = - 5$

Этап 2.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 2.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 2.4

Каждый член в $- \frac{4}{x} = - 5$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим каждый член $- \frac{4}{x} = - 5$ на $x$ .

$- \frac{4}{x} x = - 5 x$

Этап 2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{x}$ в числитель.

$\frac{- 4}{x} x = - 5 x$

Этап 2.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4}{x} x = - 5 x$

Этап 2.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 4 = - 5 x$

Этап 2.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $- 5 x = - 4$ .

$- 5 x = - 4$

Этап 2.5.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 4$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 4$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 4}{- 5}$

Этап 2.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 4}{- 5}$

Этап 2.5.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 5}$

Этап 2.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{4}{5}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{4}{x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = 0$

Этап 4

Вычислим $5 x - 4 \ln (x)$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{4}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{4}{5}$ вместо $x$ .

$5 (\frac{4}{5}) - 4 \ln (\frac{4}{5})$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$5 (\frac{4}{5}) - 4 \ln (\frac{4}{5})$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем это выражение.

$4 - 4 \ln (\frac{4}{5})$

Этап 4.1.2.2

Упростим $- 4 \ln (\frac{4}{5})$ путем переноса $4$ под логарифм.

$4 - \ln ({(\frac{4}{5})}^{4})$

Этап 4.1.2.3

Применим правило умножения к $\frac{4}{5}$ .

$4 - \ln (\frac{4^{4}}{5^{4}})$

Этап 4.1.2.4

Возведем $4$ в степень $4$ .

$4 - \ln (\frac{256}{5^{4}})$

Этап 4.1.2.5

Возведем $5$ в степень $4$ .

$4 - \ln (\frac{256}{625})$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$5 (0) - 4 \ln (0)$

Этап 4.2.2

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(\frac{4}{5}, 4 - \ln (\frac{256}{625}))$

Этап 5