Математический анализ Примеры

$2 \cos (4 x) + 4 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 \cos (4 x) + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (4 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (4 x)] + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$2 (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (- \sin (4 x) (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.5

Умножим $4$ на $1$ .

$2 (- \sin (4 x) \cdot 4) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$2 (- 4 \sin (4 x)) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.2.7

Умножим $- 4$ на $2$ .

$- 8 \sin (4 x) + \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \sin (4 x) + 4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 \sin (4 x) + 4 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$- 8 \sin (4 x) + 4$

Этап 1.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 4 - 8 \sin (4 x)$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 - 8 \sin (4 x)$ .

$4 - 8 \sin (4 x)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 - 8 \sin (4 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 - 8 \sin (4 x) = 0$

Этап 2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 8 \sin (4 x) = - 4$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 8 \sin (4 x) = - 4$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 8 \sin (4 x) = - 4$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 \sin (4 x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 \sin (4 x)}{- 8} = \frac{- 4}{- 8}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $\sin (4 x)$ на $1$ .

$\sin (4 x) = \frac{- 4}{- 8}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4$ .

$\sin (4 x) = \frac{- 4 (1)}{- 8}$

Этап 2.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 8$ .

$\sin (4 x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Этап 2.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (4 x) = \frac{- 4 \cdot 1}{- 4 \cdot 2}$

Этап 2.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (4 x) = \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$4 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 2.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$4 x = \frac{π}{6}$

Этап 2.6

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{6}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{π}{6}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Этап 2.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Этап 2.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Этап 2.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 2.6.3.2

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.2.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

Этап 2.6.3.2.2

Умножим $6$ на $4$ .

$x = \frac{π}{24}$

Этап 2.7

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$4 x = π - \frac{π}{6}$

Этап 2.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$4 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.8.1.2

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 2.8.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 2.8.1.4

Вычтем $π$ из $π \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $6$ .

$4 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 2.8.1.4.2

Вычтем $π$ из $6 \cdot π$ .

$4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Этап 2.8.2

Разделим каждый член $4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Разделим каждый член $4 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Этап 2.8.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Этап 2.8.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{4}$

Этап 2.8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 2.8.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 4}$

Этап 2.8.2.3.2.2

Умножим $6$ на $4$ .

$x = \frac{5 π}{24}$

Этап 2.9

Найдем период $\sin (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.9.2

Заменим $b$ на $4$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Этап 2.9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $4$ равно $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Этап 2.9.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Этап 2.9.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.9.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Этап 2.9.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{2}$

Этап 2.10

Период функции $\sin (4 x)$ равен $\frac{π}{2}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{2}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 \cos (4 x) + 4 x$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = \frac{π}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $\frac{π}{24}$ вместо $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{π}{24})) + 4 (\frac{π}{24})$

Этап 4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$2 \cos (4 \frac{π}{4 (6)}) + 4 (\frac{π}{24})$

Этап 4.1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{π}{24})$

Этап 4.1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{π}{24})$

Этап 4.1.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{π}{24})$

Этап 4.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{π}{24})$

Этап 4.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{π}{24})$

Этап 4.1.2.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.4.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{π}{4 (6)}$

Этап 4.1.2.4.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{3} + 4 \frac{π}{4 \cdot 6}$

Этап 4.1.2.4.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + \frac{π}{6}$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = \frac{13 π}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $\frac{13 π}{24}$ вместо $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{13 π}{24})) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Этап 4.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$2 \cos (4 \frac{13 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Этап 4.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cos (4 \frac{13 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Этап 4.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cos (\frac{13 π}{6}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Этап 4.2.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{13 π}{24})$

Этап 4.2.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{13 π}{24})$

Этап 4.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{13 π}{24})$

Этап 4.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{13 π}{24})$

Этап 4.2.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{13 π}{4 (6)}$

Этап 4.2.2.5.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{3} + 4 \frac{13 π}{4 \cdot 6}$

Этап 4.2.2.5.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + \frac{13 π}{6}$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{25 π}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{25 π}{24}$ вместо $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{25 π}{24})) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Этап 4.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$2 \cos (4 \frac{25 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Этап 4.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cos (4 \frac{25 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Этап 4.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cos (\frac{25 π}{6}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Этап 4.3.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{25 π}{24})$

Этап 4.3.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{25 π}{24})$

Этап 4.3.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{25 π}{24})$

Этап 4.3.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{25 π}{24})$

Этап 4.3.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{25 π}{4 (6)}$

Этап 4.3.2.5.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{3} + 4 \frac{25 π}{4 \cdot 6}$

Этап 4.3.2.5.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + \frac{25 π}{6}$

Этап 4.4

Найдем значение в $x = \frac{37 π}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Подставим $\frac{37 π}{24}$ вместо $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{37 π}{24})) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Этап 4.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$2 \cos (4 \frac{37 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Этап 4.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cos (4 \frac{37 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Этап 4.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cos (\frac{37 π}{6}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Этап 4.4.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{37 π}{24})$

Этап 4.4.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{37 π}{24})$

Этап 4.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{37 π}{24})$

Этап 4.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{37 π}{24})$

Этап 4.4.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{37 π}{4 (6)}$

Этап 4.4.2.5.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{3} + 4 \frac{37 π}{4 \cdot 6}$

Этап 4.4.2.5.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + \frac{37 π}{6}$

Этап 4.5

Найдем значение в $x = \frac{49 π}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Подставим $\frac{49 π}{24}$ вместо $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{49 π}{24})) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Этап 4.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$2 \cos (4 \frac{49 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Этап 4.5.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cos (4 \frac{49 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Этап 4.5.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cos (\frac{49 π}{6}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Этап 4.5.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \cos (\frac{π}{6}) + 4 (\frac{49 π}{24})$

Этап 4.5.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{49 π}{24})$

Этап 4.5.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.4.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{\sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{49 π}{24})$

Этап 4.5.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + 4 (\frac{49 π}{24})$

Этап 4.5.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$\sqrt{3} + 4 \frac{49 π}{4 (6)}$

Этап 4.5.2.5.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{3} + 4 \frac{49 π}{4 \cdot 6}$

Этап 4.5.2.5.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} + \frac{49 π}{6}$

Этап 4.6

Найдем значение в $x = \frac{5 π}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Подставим $\frac{5 π}{24}$ вместо $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{5 π}{24})) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Этап 4.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$2 \cos (4 \frac{5 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Этап 4.6.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cos (4 \frac{5 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Этап 4.6.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Этап 4.6.2.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Этап 4.6.2.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{5 π}{24})$

Этап 4.6.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{5 π}{24})$

Этап 4.6.2.4.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{5 π}{24})$

Этап 4.6.2.4.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{5 π}{24})$

Этап 4.6.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{5 π}{4 (6)}$

Этап 4.6.2.5.2

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{5 π}{4 \cdot 6}$

Этап 4.6.2.5.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + \frac{5 π}{6}$

Этап 4.7

Найдем значение в $x = \frac{17 π}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Подставим $\frac{17 π}{24}$ вместо $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{17 π}{24})) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Этап 4.7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$2 \cos (4 \frac{17 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Этап 4.7.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cos (4 \frac{17 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Этап 4.7.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cos (\frac{17 π}{6}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Этап 4.7.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Этап 4.7.2.3

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Этап 4.7.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{17 π}{24})$

Этап 4.7.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{17 π}{24})$

Этап 4.7.2.5.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{17 π}{24})$

Этап 4.7.2.5.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{17 π}{24})$

Этап 4.7.2.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{17 π}{4 (6)}$

Этап 4.7.2.6.2

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{17 π}{4 \cdot 6}$

Этап 4.7.2.6.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + \frac{17 π}{6}$

Этап 4.8

Найдем значение в $x = \frac{29 π}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Подставим $\frac{29 π}{24}$ вместо $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{29 π}{24})) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Этап 4.8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$2 \cos (4 \frac{29 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Этап 4.8.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cos (4 \frac{29 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Этап 4.8.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cos (\frac{29 π}{6}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Этап 4.8.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Этап 4.8.2.3

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Этап 4.8.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{29 π}{24})$

Этап 4.8.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{29 π}{24})$

Этап 4.8.2.5.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{29 π}{24})$

Этап 4.8.2.5.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{29 π}{24})$

Этап 4.8.2.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{29 π}{4 (6)}$

Этап 4.8.2.6.2

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{29 π}{4 \cdot 6}$

Этап 4.8.2.6.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + \frac{29 π}{6}$

Этап 4.9

Найдем значение в $x = \frac{41 π}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Подставим $\frac{41 π}{24}$ вместо $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{41 π}{24})) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Этап 4.9.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$2 \cos (4 \frac{41 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Этап 4.9.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cos (4 \frac{41 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Этап 4.9.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cos (\frac{41 π}{6}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Этап 4.9.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Этап 4.9.2.3

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Этап 4.9.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{41 π}{24})$

Этап 4.9.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{41 π}{24})$

Этап 4.9.2.5.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{41 π}{24})$

Этап 4.9.2.5.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{41 π}{24})$

Этап 4.9.2.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{41 π}{4 (6)}$

Этап 4.9.2.6.2

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{41 π}{4 \cdot 6}$

Этап 4.9.2.6.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + \frac{41 π}{6}$

Этап 4.10

Найдем значение в $x = \frac{53 π}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Подставим $\frac{53 π}{24}$ вместо $x$ .

$2 \cos (4 (\frac{53 π}{24})) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Этап 4.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$2 \cos (4 \frac{53 π}{4 (6)}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Этап 4.10.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \cos (4 \frac{53 π}{4 \cdot 6}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Этап 4.10.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \cos (\frac{53 π}{6}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Этап 4.10.2.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \cos (\frac{5 π}{6}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Этап 4.10.2.3

$2 (- \cos (\frac{π}{6})) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Этап 4.10.2.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 4 (\frac{53 π}{24})$

Этап 4.10.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{53 π}{24})$

Этап 4.10.2.5.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 4 (\frac{53 π}{24})$

Этап 4.10.2.5.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + 4 (\frac{53 π}{24})$

Этап 4.10.2.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $24$ .

$- \sqrt{3} + 4 \frac{53 π}{4 (6)}$

Этап 4.10.2.6.2

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{3} + 4 \frac{53 π}{4 \cdot 6}$

Этап 4.10.2.6.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} + \frac{53 π}{6}$

Этап 4.11

Перечислим все точки.

$(\frac{π}{24}, \sqrt{3} + \frac{π}{6}), (\frac{13 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{13 π}{6}), (\frac{25 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{25 π}{6}), (\frac{37 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{37 π}{6}), (\frac{49 π}{24}, \sqrt{3} + \frac{49 π}{6}), (\frac{5 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{5 π}{6}), (\frac{17 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{17 π}{6}), (\frac{29 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{29 π}{6}), (\frac{41 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{41 π}{6}), (\frac{53 π}{24}, - \sqrt{3} + \frac{53 π}{6})$

Этап 5