Математический анализ Примеры

$2 \cos (θ) + \sin^{2} (θ)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $2 \cos (θ) + \sin^{2} (θ)$ по $θ$ имеет вид $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$ .

$\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [2 \cos (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $θ$ , производная $2 \cos (θ)$ по $θ$ равна $2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)]$ .

$2 \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$

Этап 1.1.2.2

Производная $\cos (θ)$ по $θ$ равна $- \sin (θ)$ .

$2 (- \sin (θ)) + \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d θ} [\sin^{2} (θ)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ имеет вид $f' (g (θ)) g' (θ)$ , где $f (θ) = θ^{2}$ и $g (θ) = \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Этап 1.1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 u \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Этап 1.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \sin (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$

Этап 1.1.3.2

Производная $\sin (θ)$ по $θ$ равна $\cos (θ)$ .

$- 2 \sin (θ) + 2 \sin (θ) \cos (θ)$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Изменим порядок членов.

$2 \cos (θ) \sin (θ) - 2 \sin (θ)$

Этап 1.1.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Изменим порядок $2 \cos (θ)$ и $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (2 \cos (θ)) - 2 \sin (θ)$

Этап 1.1.4.2.2

Изменим порядок $\sin (θ)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (θ) \cos (θ) - 2 \sin (θ)$

Этап 1.1.4.2.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$f' (θ) = \sin (2 θ) - 2 \sin (θ)$

Этап 1.2

Первая производная $f (θ)$ по $θ$ равна $\sin (2 θ) - 2 \sin (θ)$ .

$\sin (2 θ) - 2 \sin (θ)$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\sin (2 θ) - 2 \sin (θ) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\sin (2 θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Этап 2.2

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (θ) \cos (θ) - 2 \sin (θ) = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $2 \sin (θ)$ из $2 \sin (θ) \cos (θ) - 2 \sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $2 \sin (θ)$ из $- 2 \sin (θ)$ .

$2 \sin (θ) \cos (θ) + 2 \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вынесем множитель $2 \sin (θ)$ из $2 \sin (θ) \cos (θ) + 2 \sin (θ) \cdot - 1$ .

$2 \sin (θ) (\cos (θ) - 1) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$\cos (θ) - 1 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $\sin (θ)$ к $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Этап 2.5.2

Решим $\sin (θ) = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из синуса.

$θ = \arcsin (0)$

Этап 2.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 2.5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$θ = π - 0$

Этап 2.5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$θ = π$

Этап 2.5.2.5

Найдем период $\sin (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.5.2.6

Период функции $\sin (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.6

Приравняем $\cos (θ) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $\cos (θ) - 1$ к $0$ .

$\cos (θ) - 1 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $\cos (θ) - 1 = 0$ относительно $θ$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (θ) = 1$

Этап 2.6.2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $θ$ из косинуса.

$θ = \arccos (1)$

Этап 2.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.3.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$θ = 0$

Этап 2.6.2.4

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$θ = 2 π - 0$

Этап 2.6.2.5

Вычтем $0$ из $2 π$ .

$θ = 2 π$

Этап 2.6.2.6

Найдем период $\cos (θ)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.6.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.6.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.6.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.6.2.7

Период функции $\cos (θ)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (θ) (\cos (θ) - 1) = 0$ верно.

$θ = 2 π n, π + 2 π n, 2 π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.8

Объединим ответы.

$θ = π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $2 \cos (θ) + \sin^{2} (θ)$ для каждого значения $θ$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $θ = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $θ$ .

$2 \cos (0) + \sin^{2} (0)$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 \cdot 1 + \sin^{2} (0)$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \sin^{2} (0)$

Этап 4.1.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$2 + 0^{2}$

Этап 4.1.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 + 0$

Этап 4.1.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 4.2

Найдем значение в $θ = π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $π$ вместо $θ$ .

$2 \cos (π) + \sin^{2} (π)$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 (- \cos (0)) + \sin^{2} (π)$

Этап 4.2.2.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) + \sin^{2} (π)$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot - 1 + \sin^{2} (π)$

Этап 4.2.2.1.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + \sin^{2} (π)$

Этап 4.2.2.1.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 2 + \sin^{2} (0)$

Этап 4.2.2.1.5

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$- 2 + 0^{2}$

Этап 4.2.2.1.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 2 + 0$

Этап 4.2.2.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$- 2$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(0 + 2 π n, 2), (π + 2 π n, - 2)$ , для любого целого $n$

Этап 5