Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 9} \frac{x - 9}{\sqrt{x - 9}}$

Этап 1

Изменим двусторонний предел на правосторонний.

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{x - 9}{\sqrt{x - 9}}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}{lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9^{+}} x - lim_{x \to 9^{+}} 9}{lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}}$

Этап 2.1.2.1.2

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9^{+}} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{9 - 9}{lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Внесем предел под знак радикала.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}}$

Этап 2.1.3.1.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9^{+}} x - lim_{x \to 9^{+}} 9}}$

Этап 2.1.3.1.3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 9^{+}} x - 1 \cdot 9}}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{9 - 1 \cdot 9}}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{9 - 9}}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$\frac{0}{\sqrt{0}}$

Этап 2.1.3.3.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{0}{\sqrt{0^{2}}}$

Этап 2.1.3.3.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.3.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{x - 9}{\sqrt{x - 9}} = lim_{x \to 9^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 9}]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x - 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 9}]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 9}]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 9}]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 9}]}$

Этап 2.3.5

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x - 9}]}$

Этап 2.3.6

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x - 9}$ в виде ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 9$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 2.3.7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 2.3.7.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 9$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 2.3.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 2.3.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 2.3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 2.3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 2.3.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 2.3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 2.3.13

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 2.3.14

Перенесем ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]}$

Этап 2.3.15

По правилу суммы производная $x - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}$

Этап 2.3.16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}$

Этап 2.3.17

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}$

Этап 2.3.18

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}$

Этап 2.3.19

Умножим $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} \frac{1}{\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Этап 2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to 9^{+}} 1 (2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 2.5

Перепишем ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ в виде $\sqrt{x - 9}$ .

$lim_{x \to 9^{+}} 1 (2 \sqrt{x - 9})$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 9^{+}} 2 \sqrt{x - 9}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 9^{+}} \sqrt{x - 9}$

Этап 3.2

Внесем предел под знак радикала.

$2 \sqrt{lim_{x \to 9^{+}} x - 9}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $9$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 9^{+}} x - lim_{x \to 9^{+}} 9}$

Этап 3.4

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $9$ .

$2 \sqrt{lim_{x \to 9^{+}} x - 1 \cdot 9}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $9$ для $x$ .

$2 \sqrt{9 - 1 \cdot 9}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $9$ .

$2 \sqrt{9 - 9}$

Этап 5.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$2 \sqrt{0}$

Этап 5.3

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$2 \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$2 \cdot 0$

Этап 5.5

Умножим $2$ на $0$ .

$0$