Математический анализ Примеры

$\int_{- \infty}^{\infty} x e^{- x^{2}} d x$

Этап 1

Разобьем интеграл в точке $0$ и запишем в виде суммы пределов.

$lim_{t \to - \infty} \int_{t}^{0} x e^{- x^{2}} d x + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Тогда $d u_{2} = - 2 x e^{- x^{2}} d x$ , следовательно $- \frac{1}{2} d u_{2} = x e^{- x^{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Этап 2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Этап 2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Этап 2.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

Этап 2.3

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- 0^{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{upper} = e^{- 0}$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{upper} = e^{0}$

Этап 2.4.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 2.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = e^{- t^{2}}$

$u_{upper} = 1$

Этап 2.6

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} \frac{1}{- 2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Этап 3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to - \infty} \int_{e^{- t^{2}}}^{1} - \frac{1}{2} d u_{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Этап 4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{e^{- t^{2}}}^{1} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $- \frac{1}{2} u_{2}$ в $1$ и в $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} (- \frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} x e^{- x^{2}} d x$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u_{2} = e^{- x^{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Этап 6.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 6.1.2.2

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 6.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Этап 6.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- x^{2}} (- 2 x)$ .

$- 2 e^{- x^{2}} x$

Этап 6.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}}$

Этап 6.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{lower} = e^{- 0^{2}}$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = e^{- 0}$

Этап 6.3.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = e^{0}$

Этап 6.3.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 6.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u_{2} = e^{- x^{2}}$ .

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Этап 6.5

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = e^{- t^{2}}$

Этап 6.6

Переформулируем задачу, используя $u_{2}$ , $d u_{2}$ и новые пределы интегрирования.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \int_{1}^{e^{- t^{2}}} - \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} u_{2}]_{1}^{e^{- t^{2}}}$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $- \frac{1}{2} u_{2}$ в $e^{- t^{2}}$ и в $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} e^{- t^{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $e^{- t^{2}}$ и $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 9.2.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 10

Вычислим пределы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим дроби, используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 10.1.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) + e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 10.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 10.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- e^{- t^{2}})$ .

$lim_{t \to - \infty} \frac{- 1 (1 - e^{- t^{2}})}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 10.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}}}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 10.2

Объединим дроби, используя общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- e^{- t^{2}} + 1}{2}$

Этап 10.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{- t^{2}}$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) + 1}{2}$

Этап 10.2.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)}{2}$

Этап 10.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{- t^{2}}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Этап 10.2.5

Перепишем $- (e^{- t^{2}} - 1)$ в виде $- 1 (e^{- t^{2}} - 1)$ .

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (e^{- t^{2}} - 1)}{2}$

Этап 10.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to - \infty} - \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Этап 10.3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- lim_{t \to - \infty} \frac{1 - e^{- t^{2}}}{2} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Этап 10.3.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to - \infty} 1 - e^{- t^{2}} + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Этап 10.3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to - \infty} 1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Этап 10.3.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $- \infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - lim_{t \to - \infty} e^{- t^{2}}) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Этап 10.4

Поскольку показатель степени $- t^{2}$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{- t^{2}}$ стремится к $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) + lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Этап 10.5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - lim_{t \to \infty} \frac{e^{- t^{2}} - 1}{2}$

Этап 10.5.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - 1$

Этап 10.5.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 10.6

Поскольку показатель степени $- t^{2}$ стремится к $- \infty$ , величина $e^{- t^{2}}$ стремится к $0$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 10.7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (1 - 0) - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Этап 10.7.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.2.1.1

Вычтем $0$ из $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Этап 10.7.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Этап 10.7.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (0 - 1)$

Этап 10.7.2.1.4

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 10.7.2.1.5

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.7.2.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Этап 10.7.2.1.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 10.7.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 + 1}{2}$

Этап 10.7.2.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$\frac{0}{2}$

Этап 10.7.2.4

Разделим $0$ на $2$ .

$0$