Математический анализ Примеры

$\int \frac{x + 5}{\sqrt{9 - {(x - 3)}^{2}}} d x$

Этап 1

Пусть $u = x - 3$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{u + 3 + 5}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Этап 2

Добавим $3$ и $5$ .

$\int \frac{u + 8}{\sqrt{9 - u^{2}}} d u$

Этап 3

Пусть $u = 3 \sin (t)$ , где $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Тогда $d u = 3 \cos (t) d t$ . Заметим, что поскольку $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , выражение $3 \cos (t)$ положительно.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило умножения к $3 \sin (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.1.3

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $9$ из $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.5

Применим формулу Пифагора.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.6

Перепишем $9 \cos^{2} (t)$ в виде ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $3 \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{3 \sin (t) + 8}{3 \cos (t)} (3 \cos (t)) d t$

Этап 4.2.2

Перепишем это выражение.

$\int 3 \sin (t) + 8 d t$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 3 \sin (t) d t + \int 8 d t$

Этап 6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \sin (t) d t + \int 8 d t$

Этап 7

Интеграл $\sin (t)$ по $t$ имеет вид $- \cos (t)$ .

$3 (- \cos (t) + C) + \int 8 d t$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$3 (- \cos (t) + C) + 8 t + C$

Этап 9

Упростим.

$- 3 \cos (t) + 8 t + C$

Этап 10

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим все вхождения $t$ на $\arcsin (\frac{u}{3})$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{u}{3})) + 8 \arcsin (\frac{u}{3}) + C$

Этап 10.2

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{x - 3}{3})) + 8 \arcsin (\frac{x - 3}{3}) + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$- 3 \cos (\arcsin (\frac{1}{3} (x - 3))) + 8 \arcsin (\frac{1}{3} (x - 3)) + C$