Математический анализ Примеры

$12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$

Этап 1

Запишем $12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ в виде функции.

$f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Этап 2.1.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 \sin (2 x)$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$24 x - 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$24 x - 12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.3.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$24 x - 12 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 2.1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$24 x - 12 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Этап 2.1.3.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$24 x - 12 (2 \cdot \cos (2 x))$

Этап 2.1.3.7

Умножим $2$ на $- 12$ .

$f' (x) = 24 x - 24 \cos (2 x)$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $24 x - 24 \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $24$ на $1$ .

$24 + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 \cos (2 x)$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$24 - 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$24 - 24 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.2.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$24 - 24 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 2.2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$24 - 24 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 2.2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$24 - 24 (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.2.3.7

Умножим $- 2$ на $- 24$ .

$f'' (x) = 24 + 48 \sin (2 x)$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 + 48 \sin (2 x)$ .

$24 + 48 \sin (2 x)$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $24 + 48 \sin (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$24 + 48 \sin (2 x) = 0$

Этап 3.2

Вычтем $24$ из обеих частей уравнения.

$48 \sin (2 x) = - 24$

Этап 3.3

Разделим каждый член $48 \sin (2 x) = - 24$ на $48$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $48 \sin (2 x) = - 24$ на $48$ .

$\frac{48 \sin (2 x)}{48} = \frac{- 24}{48}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{48 \sin (2 x)}{48} = \frac{- 24}{48}$

Этап 3.3.2.1.2

Разделим $\sin (2 x)$ на $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 24}{48}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Сократим общий множитель $- 24$ и $48$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем множитель $24$ из $- 24$ .

$\sin (2 x) = \frac{24 (- 1)}{48}$

Этап 3.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $24$ из $48$ .

$\sin (2 x) = \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (2 x) = \frac{24 \cdot - 1}{24 \cdot 2}$

Этап 3.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Этап 3.4

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Этап 3.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{1}{2})$ : $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Этап 3.6

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Разделим каждый член $2 x = - \frac{π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 3.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Этап 3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.6.3.2

Умножим $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Этап 3.6.3.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Этап 3.7

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Этап 3.8

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Этап 3.8.2

Результирующий угол $\frac{7 π}{6}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{6} + π$ на полный оборот.

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Этап 3.8.3

Разделим каждый член $2 x = \frac{7 π}{6}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Разделим каждый член $2 x = \frac{7 π}{6}$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 3.8.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 3.8.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Этап 3.8.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 3.8.3.3.2

Умножим $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.3.2.1

Умножим $\frac{7 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Этап 3.8.3.3.2.2

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Этап 3.9

Найдем период $\sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.9.2

Заменим $b$ на $2$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Этап 3.9.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 π}{2}$

Этап 3.9.4.2

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 3.10

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{12} + π$

Этап 3.10.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 3.10.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.3.1

Объединим $π$ и $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 3.10.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Этап 3.10.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.4.1

Перенесем $12$ влево от $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Этап 3.10.4.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Этап 3.10.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{11 π}{12}$

Этап 3.11

Период функции $\sin (2 x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{7 π}{12}$ в $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{7 π}{12}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 {(\frac{7 π}{12})}^{2} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{7 π}{12}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{{(7 π)}^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Этап 4.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{7^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Этап 4.1.2.1.3

Возведем $12$ в степень $2$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{144}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Этап 4.1.2.1.4

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Вынесем множитель $12$ из $144$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12 (12)}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Этап 4.1.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 π}{12}) = 12 (\frac{49 π^{2}}{12 \cdot 12}) - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Этап 4.1.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{12}))$

Этап 4.1.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{2 (6)}))$

Этап 4.1.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{7 π}{2 \cdot 6}))$

Этап 4.1.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 \sin (\frac{7 π}{6})$

Этап 4.1.2.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 4.1.2.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.1.2.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Этап 4.1.2.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Этап 4.1.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Этап 4.1.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} - 6 \cdot - 1$

Этап 4.1.2.1.9

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{12}) = \frac{49 π^{2}}{12} + 6$

Этап 4.1.2.2

Окончательный ответ: $\frac{49 π^{2}}{12} + 6$ .

$\frac{49 π^{2}}{12} + 6$

Этап 4.2

Подставляя $\frac{7 π}{12}$ в $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ , найдем точку $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6)$

Этап 4.3

Подставим $\frac{11 π}{12}$ в $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{11 π}{12}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 {(\frac{11 π}{12})}^{2} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{11 π}{12}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{{(11 π)}^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Этап 4.3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $11 π$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{11^{2} π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $11$ в степень $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12^{2}}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $12$ в степень $2$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{144}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Этап 4.3.2.1.4

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $12$ из $144$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12 (12)}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Этап 4.3.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{11 π}{12}) = 12 (\frac{121 π^{2}}{12 \cdot 12}) - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Этап 4.3.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{12}))$

Этап 4.3.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{2 (6)}))$

Этап 4.3.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (2 (\frac{11 π}{2 \cdot 6}))$

Этап 4.3.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 \sin (\frac{11 π}{6})$

Этап 4.3.2.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 4.3.2.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (- \frac{1}{2})$

Этап 4.3.2.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 12 (\frac{- 1}{2})$

Этап 4.3.2.1.8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

Этап 4.3.2.1.8.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

Этап 4.3.2.1.8.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} - 6 \cdot - 1$

Этап 4.3.2.1.9

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{12}) = \frac{121 π^{2}}{12} + 6$

Этап 4.3.2.2

Окончательный ответ: $\frac{121 π^{2}}{12} + 6$ .

$\frac{121 π^{2}}{12} + 6$

Этап 4.4

Подставляя $\frac{11 π}{12}$ в $f (x) = 12 x^{2} - 12 \sin (2 x)$ , найдем точку $(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, \frac{7 π}{12}) \cup (\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12}) \cup (\frac{11 π}{12}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.73259571$ .

$f'' (1.73259571) = 24 + 48 \sin (2 (1.73259571))$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $1.73259571$ .

$f'' (1.73259571) = 24 + 48 \sin (3.46519142)$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $24 + 48 \sin (3.46519142)$ .

$24 + 48 \sin (3.46519142)$

Этап 6.3

При $1.73259571$ вторая производная имеет вид $8.73693112$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ .

Возрастание в области $(- \infty, \frac{7 π}{12})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.35619449$ .

$f'' (2.35619449) = 24 + 48 \sin (2 (2.35619449))$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $2$ на $2.35619449$ .

$f'' (2.35619449) = 24 + 48 \sin (4.71238898)$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $24 + 48 \sin (4.71238898)$ .

$24 + 48 \sin (4.71238898)$

Этап 7.3

При $2.35619449$ вторая производная имеет вид $- 24$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ .

Убывание на $(\frac{7 π}{12}, \frac{11 π}{12})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.97979326$ .

$f'' (2.97979326) = 24 + 48 \sin (2 (2.97979326))$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $2$ на $2.97979326$ .

$f'' (2.97979326) = 24 + 48 \sin (5.95958653)$

Этап 8.2.2

Окончательный ответ: $24 + 48 \sin (5.95958653)$ .

$24 + 48 \sin (5.95958653)$

Этап 8.3

При $2.97979326$ вторая производная имеет вид $8.73693112$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{11 π}{12}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$ .

$(\frac{7 π}{12}, \frac{49 π^{2}}{12} + 6), (\frac{11 π}{12}, \frac{121 π^{2}}{12} + 6)$

Этап 10