Математический анализ Примеры

$6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Этап 1

Запишем $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ в виде функции.

$f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $6 \sin (x) + \sin (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 2.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \sin (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 2.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$6 \cos (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 2.1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$6 \cos (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Этап 2.1.3.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $6 \cos (x) + 2 \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \cos (x)$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$6 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.2.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 \sin (x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (2 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$- 6 \sin (x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2.2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.2.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 2.2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 2.2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 6 \sin (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.2.3.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = - 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$ .

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x)$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 6 \sin (x) - 4 \sin (2 x) = 0$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$- 6 \sin (x) - 4 (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 6 \sin (x) - 8 \sin (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 6 \sin (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 3 - 8 \sin (x) \cos (x) = 0$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $- 8 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x)) = 0$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $2 \sin (x)$ из $2 \sin (x) \cdot - 3 + 2 \sin (x) (- 4 \cos (x))$ .

$2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$

Этап 3.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

Этап 3.5

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 3.5.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 3.5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.5.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 3.5.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 3.5.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.5.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.6

Приравняем $- 3 - 4 \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $- 3 - 4 \cos (x)$ к $0$ .

$- 3 - 4 \cos (x) = 0$

Этап 3.6.2

Решим $- 3 - 4 \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- 4 \cos (x) = 3$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $- 4 \cos (x) = 3$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $- 4 \cos (x) = 3$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{3}{- 4}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{3}{- 4}$

Этап 3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (x) = - \frac{3}{4}$

Этап 3.6.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (- \frac{3}{4})$

Этап 3.6.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.4.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{3}{4})$ .

$x = 2.4188584$

Этап 3.6.2.5

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Этап 3.6.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.6.1

Избавимся от скобок.

$x = 2 (3.14159265) - 2.4188584$

Этап 3.6.2.6.2

Упростим $2 (3.14159265) - 2.4188584$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.6.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.4188584$

Этап 3.6.2.6.2.2

Вычтем $2.4188584$ из $6.2831853$ .

$x = 3.8643269$

Этап 3.6.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.6.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.6.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.6.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \sin (x) (- 3 - 4 \cos (x)) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.8

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, 2.4188584 + 2 π n, 3.8643269 + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставляя в $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ , найдем точку $(,)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(,)$

Этап 4.2

Подставим $2.4188584$ в $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.4188584$ .

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (2 (2.4188584))$

Этап 4.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $2$ на $2.4188584$ .

$f (2.4188584) = 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

Этап 4.2.2.2

Окончательный ответ: $6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$ .

$6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)$

Этап 4.3

Подставляя $2.4188584$ в $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ , найдем точку $(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

Этап 4.4

Подставим $3.8643269$ в $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.8643269$ .

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (2 (3.8643269))$

Этап 4.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Умножим $2$ на $3.8643269$ .

$f (3.8643269) = 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

Этап 4.4.2.2

Окончательный ответ: $6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$ .

$6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538)$

Этап 4.5

Подставляя $3.8643269$ в $f (x) = 6 \sin (x) + \sin (2 x)$ , найдем точку $(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

Этап 4.6

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681)), (3.8643269, 6 \sin (3.8643269) + \sin (7.7286538))$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty,) \cup (, 2.4188584) \cup (2.4188584, 3.8643269) \cup (3.8643269, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty,)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (2 (- 0.1))$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Этап 6.2.2

Окончательный ответ: $- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$ .

$- 6 \sin (- 0.1) - 4 \sin (- 0.2)$

Этап 6.3

При $- 0.1$ вторая производная имеет вид $1.39367782$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty,)$ .

Возрастание в области $(- \infty,)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(, 2.4188584)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.2094292$ .

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2 (1.2094292))$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Умножим $2$ на $1.2094292$ .

$f'' (1.2094292) = - 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

Этап 7.2.2

Окончательный ответ: $- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$ .

$- 6 \sin (1.2094292) - 4 \sin (2.4188584)$

Этап 7.3

При $1.2094292$ вторая производная имеет вид $- 8.25823739$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(, 2.4188584)$ .

Убывание на $(, 2.4188584)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(2.4188584, 3.8643269)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.14159265$ .

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (2 (3.14159265))$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$f'' (3.14159265) = - 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Этап 8.2.2

Окончательный ответ: $- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$ .

$- 6 \sin (3.14159265) - 4 \sin (6.2831853)$

Этап 8.3

При $3.14159265$ вторая производная имеет вид $2.44929359 E - 16$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(2.4188584, 3.8643269)$ .

Возрастание в области $(2.4188584, 3.8643269)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(3.8643269, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.9643269$ .

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (2 (3.9643269))$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $2$ на $3.9643269$ .

$f'' (3.9643269) = - 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

Этап 9.2.2

Окончательный ответ: $- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$ .

$- 6 \sin (3.9643269) - 4 \sin (7.9286538)$

Этап 9.3

При $3.9643269$ вторая производная имеет вид $0.40919742$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(3.8643269, \infty)$ .

Возрастание в области $(3.8643269, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 10

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$ .

$(,), (2.4188584, 6 \sin (2.4188584) + \sin (4.83771681))$

Этап 11