Математический анализ Примеры

$\ln (x^{2} - 4 x + 29)$

Этап 1

Запишем $\ln (x^{2} - 4 x + 29)$ в виде функции.

$f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Этап 2.1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Этап 2.1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 4 x + 29$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 29$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])$

Этап 2.1.2.5

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])$

Этап 2.1.2.6

Поскольку $29$ является константой относительно $x$ , производная $29$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4 + 0)$

Этап 2.1.2.7

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$

Этап 2.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29} (2 x - 4)$ .

$(2 x - 4) \frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$

Этап 2.1.3.2

Умножим $2 x - 4$ на $\frac{1}{x^{2} - 4 x + 29}$ .

$\frac{2 x - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 4}{x^{2} - 4 x + 29}$

Этап 2.1.3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot - 2}{x^{2} - 4 x + 29}$

Этап 2.1.3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 29}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x - 2}{x^{2} - 4 x + 29}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 2$ и $g (x) = x^{2} - 4 x + 29$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 \frac{(x^{2} - 4 x + 29) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3.4.2

Умножим $x^{2} - 4 x + 29$ на $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 29]}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x + 29$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3.7

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3.9

Умножим $- 4$ на $1$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [29])}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3.10

Поскольку $29$ является константой относительно $x$ , производная $29$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4 + 0)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.11.1

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$2 \frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.3.11.2

Объединим $2$ и $\frac{x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 - (x - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x^{2} - 4 x + 29 + (- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 29 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.2

Умножим $2$ на $29$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x - - 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 ((- x + 2) (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.4

Развернем $(- x + 2) (2 x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x - 4) + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x - 4))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- x (2 x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.5.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} - x \cdot - 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.5.1.4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.5.1.5

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x + 2 \cdot - 4)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.5.1.6

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 4 x + 4 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.5.2

Добавим $4 x$ и $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2} + 8 x - 8)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 + 2 (- 2 x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1.7.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.7.2

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x + 2 \cdot - 8}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.1.7.3

Умножим $2$ на $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 58 - 4 x^{2} + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{- 2 x^{2} - 8 x + 58 + 16 x - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.3

Добавим $- 8 x$ и $16 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 58 - 16}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.3.4

Вычтем $16$ из $58$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2} + 8 x + 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x^{2}$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 8 x + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $8 x$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 42}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $42$ .

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 (4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.4.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2}) + 2 (4 x)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.4.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- x^{2} + 4 x) + 2 (21)$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.4.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.4.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 21 = - 21$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.4.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 (x) + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.4.2.1.2

Запишем $4$ как $- 3$ плюс $7$

$\frac{2 (- x^{2} + (- 3 + 7) x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.4.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- x^{2} - 3 x + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.4.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{2 ((- x^{2} - 3 x) + 7 x + 21)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.4.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{2 (x (- x - 3) - 7 (- x - 3))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.4.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 3$ .

$\frac{2 ((- x - 3) (x - 7))}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

$\frac{2 (- x - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{2 (- (x) - 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.6

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (3)$ .

$\frac{2 (- (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.8

Перепишем $- (x + 3)$ в виде $- 1 (x + 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.2.4.10

Изменим порядок множителей в $- \frac{(2 (x + 3)) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{2 (x + 3) (x - 7)}{{(x^{2} - 4 x + 29)}^{2}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 (x + 3) (x - 7) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 7 = 0$

Этап 3.3.2

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 3.3.3

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 3.3.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 3.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (x + 3) (x - 7) = 0$ верно.

$x = - 3, 7$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 3$ в $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{2} - 4 \cdot - 3 + 29)$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = \ln (9 - 4 \cdot - 3 + 29)$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 4$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \ln (9 + 12 + 29)$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $9$ и $12$ .

$f (- 3) = \ln (21 + 29)$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $21$ и $29$ .

$f (- 3) = \ln (50)$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

Этап 4.2

Подставляя $- 3$ в $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ , найдем точку $(- 3, \ln (50))$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 3, \ln (50))$

Этап 4.3

Подставим $7$ в $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f (7) = \ln ({(7)}^{2} - 4 \cdot 7 + 29)$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$f (7) = \ln (49 - 4 \cdot 7 + 29)$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $- 4$ на $7$ .

$f (7) = \ln (49 - 28 + 29)$

Этап 4.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вычтем $28$ из $49$ .

$f (7) = \ln (21 + 29)$

Этап 4.3.2.2.2

Добавим $21$ и $29$ .

$f (7) = \ln (50)$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $\ln (50)$ .

$\ln (50)$

Этап 4.4

Подставляя $7$ в $f (x) = \ln (x^{2} - 4 x + 29)$ , найдем точку $(7, \ln (50))$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(7, \ln (50))$

Этап 4.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 3)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 ((- 3.1) + 3) ((- 3.1) - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Добавим $- 3.1$ и $3$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2 \cdot (- 0.1 (- 3.1 - 7))}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Умножим $2$ на $- 0.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{- 0.2 (- 3.1 - 7)}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2.2

Умножим $- 0.2$ на $- 3.1 - 7$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{({(- 3.1)}^{2} - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 3.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 - 4 \cdot - 3.1 + 29)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Умножим $- 4$ на $- 3.1$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(9.61 + 12.4 + 29)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Добавим $9.61$ и $12.4$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Добавим $22.01$ и $29$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

Этап 6.2.2.5

Возведем $51.01$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

Этап 6.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $2.02$ на $2602.0201$ .

$f'' (- 3.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0.00077631$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.00077631$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

Этап 6.3

При $- 3.1$ вторая производная имеет вид $- 0.00077631$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 3)$ .

Убывание на $(- \infty, - 3)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 3, 7)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f'' (2) = - \frac{2 ((2) + 3) ((2) - 7)}{{({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Добавим $2$ и $3$ .

$f'' (2) = - \frac{2 \cdot (5 (2 - 7))}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $2$ на $5$ .

$f'' (2) = - \frac{10 (2 - 7)}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Вычтем $7$ из $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(2^{2} - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 4 \cdot 2 + 29)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(4 - 8 + 29)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Вычтем $8$ из $4$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{{(- 4 + 29)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Добавим $- 4$ и $29$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{25^{2}}$

Этап 7.2.2.5

Возведем $25$ в степень $2$ .

$f'' (2) = - \frac{10 \cdot - 5}{625}$

Этап 7.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $10$ на $- 5$ .

$f'' (2) = - \frac{- 50}{625}$

Этап 7.2.3.2

Сократим общий множитель $- 50$ и $625$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Вынесем множитель $25$ из $- 50$ .

$f'' (2) = - \frac{25 (- 2)}{625}$

Этап 7.2.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.2.1

Вынесем множитель $25$ из $625$ .

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (2) = - \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 25}$

Этап 7.2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (2) = - \frac{- 2}{25}$

Этап 7.2.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (2) = \frac{2}{25}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $\frac{2}{25}$ .

$\frac{2}{25}$

Этап 7.3

При $2$ вторая производная имеет вид $0.08$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 3, 7)$ .

Возрастание в области $(- 3, 7)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(7, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2 ((7.1) + 3) ((7.1) - 7)}{{({(7.1)}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Добавим $7.1$ и $3$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2 \cdot (10.1 (7.1 - 7))}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.2.1

Умножим $2$ на $10.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{20.2 (7.1 - 7)}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Этап 8.2.1.2.2

Умножим $20.2$ на $7.1 - 7$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{({7.1}^{2} - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $7.1$ в степень $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 4 \cdot 7.1 + 29)}^{2}}$

Этап 8.2.2.2

Умножим $- 4$ на $7.1$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(50.41 - 28.4 + 29)}^{2}}$

Этап 8.2.2.3

Вычтем $28.4$ из $50.41$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{(22.01 + 29)}^{2}}$

Этап 8.2.2.4

Добавим $22.01$ и $29$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{{51.01}^{2}}$

Этап 8.2.2.5

Возведем $51.01$ в степень $2$ .

$f'' (7.1) = - \frac{2.02}{2602.0201}$

Этап 8.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Разделим $2.02$ на $2602.0201$ .

$f'' (7.1) = - 1 \cdot 0.00077631$

Этап 8.2.3.2

Умножим $- 1$ на $0.00077631$ .

$f'' (7.1) = - 0.00077631$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- 0.00077631$ .

$- 0.00077631$

Этап 8.3

При $7.1$ вторая производная имеет вид $- 0.00077631$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(7, \infty)$ .

Убывание на $(7, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$ .

$(- 3, \ln (50)), (7, \ln (50))$

Этап 10