Математический анализ Примеры

$\frac{6 x^{5}}{5 y^{4}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = 6 x^{5}$ и $g (y) = 5 y^{4}$ .

$\frac{5 y^{4} \frac{d}{d y} [6 x^{5}] - 1 \cdot 6 x^{5} \frac{d}{d y} [5 y^{4}]}{{(5 y^{4})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $6 x^{5}$ является константой относительно $y$ , производная $6 x^{5}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} \frac{d}{d y} [5 y^{4}]}{{(5 y^{4})}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 y^{4}$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} (5 \frac{d}{d y} [y^{4}])}{{(5 y^{4})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} (5 (4 y^{3}))}{{(5 y^{4})}^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $4$ на $5$ .

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} (20 y^{3})}{{(5 y^{4})}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $5 y^{4}$ .

$\frac{5 y^{4} \cdot 0 - 1 \cdot 6 x^{5} (20 y^{3})}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $5 y^{4} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Умножим $0$ на $5$ .

$\frac{0 y^{4} - 1 \cdot 6 x^{5} (20 y^{3})}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Этап 3.2.1.1.2

Умножим $0$ на $y^{4}$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 6 x^{5} (20 y^{3})}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{0 - 1 \cdot 6 \cdot 20 x^{5} y^{3}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 1 \cdot 6 \cdot 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$\frac{0 - 6 \cdot 20 x^{5} y^{3}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $- 6$ на $20$ .

$\frac{0 - 120 x^{5} y^{3}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Этап 3.2.2

Вычтем $120 x^{5} y^{3}$ из $0$ .

$\frac{- 120 x^{5} y^{3}}{5^{2} {(y^{4})}^{2}}$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{- 120 x^{5} y^{3}}{25 {(y^{4})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 120 x^{5} y^{3}}{25 y^{4 \cdot 2}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{- 120 x^{5} y^{3}}{25 y^{8}}$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $- 120$ и $25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $5$ из $- 120 x^{5} y^{3}$ .

$\frac{5 (- 24 x^{5} y^{3})}{25 y^{8}}$

Этап 3.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $5$ из $25 y^{8}$ .

$\frac{5 (- 24 x^{5} y^{3})}{5 (5 y^{8})}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (- 24 x^{5} y^{3})}{5 (5 y^{8})}$

Этап 3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 24 x^{5} y^{3}}{5 y^{8}}$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель $y^{3}$ и $y^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $- 24 x^{5} y^{3}$ .

$\frac{y^{3} (- 24 x^{5})}{5 y^{8}}$

Этап 3.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $5 y^{8}$ .

$\frac{y^{3} (- 24 x^{5})}{y^{3} (5 y^{5})}$

Этап 3.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{3} (- 24 x^{5})}{y^{3} (5 y^{5})}$

Этап 3.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 24 x^{5}}{5 y^{5}}$

Этап 3.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{24 x^{5}}{5 y^{5}}$