Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 - v^{2}}{2 + v^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [\frac{f (v)}{g (v)}]$ имеет вид $\frac{g (v) \frac{d}{d v} [f (v)] - f (v) \frac{d}{d v} [g (v)]}{{g (v)}^{2}}$ , где $f (v) = 2 - v^{2}$ и $g (v) = 2 + v^{2}$ .

$\frac{(2 + v^{2}) \frac{d}{d v} [2 - v^{2}] - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 - v^{2}$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $v$ , производная $2$ относительно $v$ равна $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [- v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d v} [- v^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $v$ , производная $- v^{2}$ по $v$ равна $- \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - \frac{d}{d v} [v^{2}]) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - (2 v)) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (0 - 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $2 v$ из $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) \frac{d}{d v} [2 + v^{2}]}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $2 + v^{2}$ по $v$ имеет вид $\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (\frac{d}{d v} [2] + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $v$ , производная $2$ относительно $v$ равна $0$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + \frac{d}{d v} [v^{2}])}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ имеет вид $n v^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (0 + 2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 4.5

Добавим $0$ и $2 v$ .

$\frac{(2 + v^{2}) (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - (2 - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) + (- 1 \cdot 2 - - v^{2}) (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (- 2 v) + v^{2} (- 2 v) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 4 v + v^{2} (- 2 v) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 4 v - 2 v^{2} v - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.3

Умножим $v^{2}$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Перенесем $v$ .

$\frac{- 4 v - 2 (v \cdot v^{2}) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.3.2

Умножим $v$ на $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.2.1

Возведем $v$ в степень $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 (v^{1} v^{2}) - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 4 v - 2 v^{1 + 2} - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 1 \cdot 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 2 (2 v) - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{2} (2 v)}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.6

Умножим $v^{2}$ на $v$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.1

Перенесем $v$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - (v \cdot v^{2}) \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.6.2

Умножим $v$ на $v^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.2.1

Возведем $v$ в степень $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - (v^{1} v^{2}) \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{1 + 2} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v - - v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.7

Умножим $- - v^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 1 v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.7.2

Умножим $v^{3}$ на $1$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + v^{3} \cdot 2}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.1.8

Перенесем $2$ влево от $v^{3}$ .

$\frac{- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.2

Объединим противоположные члены в $- 4 v - 2 v^{3} - 4 v + 2 v^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $- 2 v^{3}$ и $2 v^{3}$ .

$\frac{- 4 v - 4 v + 0}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.2.2

Добавим $- 4 v - 4 v$ и $0$ .

$\frac{- 4 v - 4 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.4.3

Вычтем $4 v$ из $- 4 v$ .

$\frac{- 8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$

Этап 5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 v}{{(2 + v^{2})}^{2}}$