Математический анализ Примеры

$\frac{w^{6} - w}{w}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [\frac{f (w)}{g (w)}]$ имеет вид $\frac{g (w) \frac{d}{d w} [f (w)] - f (w) \frac{d}{d w} [g (w)]}{{g (w)}^{2}}$ , где $f (w) = w^{6} - w$ и $g (w) = w$ .

$\frac{w \frac{d}{d w} [w^{6} - w] - (w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $w^{6} - w$ по $w$ имеет вид $\frac{d}{d w} [w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]$ .

$\frac{w (\frac{d}{d w} [w^{6}] + \frac{d}{d w} [- w]) - (w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{w (6 w^{5} + \frac{d}{d w} [- w]) - (w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d w} [- w]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $w$ , производная $- w$ по $w$ равна $- \frac{d}{d w} [w]$ .

$\frac{w (6 w^{5} - \frac{d}{d w} [w]) - (w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{w (6 w^{5} - 1 \cdot 1) - (w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{w (6 w^{5} - 1) - (w^{6} - w) \frac{d}{d w} [w]}{w^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ имеет вид $n w^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{w (6 w^{5} - 1) - (w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{w (6 w^{5}) + w \cdot - 1 - (w^{6} - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{w (6 w^{5}) + w \cdot - 1 + (- w^{6} - - w) \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{w (6 w^{5}) + w \cdot - 1 - w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 w \cdot w^{5} + w \cdot - 1 - w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $w$ на $w^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Перенесем $w^{5}$ .

$\frac{6 (w^{5} w) + w \cdot - 1 - w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.4.1.2.2

Умножим $w^{5}$ на $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.2.1

Возведем $w$ в степень $1$ .

$\frac{6 (w^{5} w^{1}) + w \cdot - 1 - w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.4.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 w^{5 + 1} + w \cdot - 1 - w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.4.1.2.3

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{6 w^{6} + w \cdot - 1 - w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.4.1.3

Перенесем $- 1$ влево от $w$ .

$\frac{6 w^{6} - 1 \cdot w - w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.4.1.4

Перепишем $- 1 w$ в виде $- w$ .

$\frac{6 w^{6} - w - w^{6} \cdot 1 - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.4.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{6 w^{6} - w - w^{6} - - w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.4.1.6

Умножим $- - w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{6 w^{6} - w - w^{6} + 1 w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.4.1.6.2

Умножим $w$ на $1$ .

$\frac{6 w^{6} - w - w^{6} + w \cdot 1}{w^{2}}$

Этап 5.4.1.7

Умножим $w$ на $1$ .

$\frac{6 w^{6} - w - w^{6} + w}{w^{2}}$

Этап 5.4.2

Объединим противоположные члены в $6 w^{6} - w - w^{6} + w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $- w$ и $w$ .

$\frac{6 w^{6} - w^{6} + 0}{w^{2}}$

Этап 5.4.2.2

Добавим $6 w^{6} - w^{6}$ и $0$ .

$\frac{6 w^{6} - w^{6}}{w^{2}}$

Этап 5.4.3

Вычтем $w^{6}$ из $6 w^{6}$ .

$\frac{5 w^{6}}{w^{2}}$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $w^{6}$ и $w^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $w^{2}$ из $5 w^{6}$ .

$\frac{w^{2} (5 w^{4})}{w^{2}}$

Этап 5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{w^{2} (5 w^{4})}{w^{2} \cdot 1}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{w^{2} (5 w^{4})}{w^{2} \cdot 1}$

Этап 5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 w^{4}}{1}$

Этап 5.5.2.4

Разделим $5 w^{4}$ на $1$ .

$5 w^{4}$