Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 16$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $16$ вместо $x$ .

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 3 \cdot 16^{\frac{1}{2}} + 16^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.3

Избавимся от скобок.

$y = 3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4

Упростим $3 {(16)}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = 3 {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y = 3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y = 3 \cdot 4^{1} + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.4

Найдем экспоненту.

$y = 3 \cdot 4 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.5

Умножим $3$ на $4$ .

$y = 12 + {(16)}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.6

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$y = 12 + {(4^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1.2.4.1.7

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 1.2.4.1.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.8.1

Сократим общий множитель.

$y = 12 + 4^{2 (\frac{3}{2})}$

Этап 1.2.4.1.8.2

Перепишем это выражение.

$y = 12 + 4^{3}$

Этап 1.2.4.1.9

Возведем $4$ в степень $3$ .

$y = 12 + 64$

Этап 1.2.4.2

Добавим $12$ и $64$ .

$y = 76$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 16$ и $y = 76$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.8

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.9

Объединим $3$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.2.10

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Этап 2.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Этап 2.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Этап 2.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Этап 2.3.5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.4.2

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = 16$ .

$\frac{3 {(16)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \cdot 4^{1}}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.1.4

Найдем экспоненту.

$\frac{3 \cdot 4}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12}{2} + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.3

Разделим $12$ на $2$ .

$6 + \frac{3}{2 {(16)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.1

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.4.2

Перемножим экспоненты в ${(2^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{2})}}$

Этап 2.6.1.4.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 (2) \frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}}$

Этап 2.6.1.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$6 + \frac{3}{2 \cdot 2^{2}}$

Этап 2.6.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 + \frac{3}{2^{1 + 2}}$

Этап 2.6.1.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$6 + \frac{3}{2^{3}}$

Этап 2.6.1.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$6 + \frac{3}{8}$

Этап 2.6.2

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$6 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

Этап 2.6.3

Объединим $6$ и $\frac{8}{8}$ .

$\frac{6 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

Этап 2.6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{6 \cdot 8 + 3}{8}$

Этап 2.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Умножим $6$ на $8$ .

$\frac{48 + 3}{8}$

Этап 2.6.5.2

Добавим $48$ и $3$ .

$\frac{51}{8}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{51}{8}$ и координаты заданной точки $(16, 76)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (76) = \frac{51}{8} \cdot (x - (16))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{51}{8} \cdot (x - 16)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 76 = 0 + 0 + \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 76 = \frac{51}{8} \cdot (x - 16)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 76 = \frac{51}{8} x + \frac{51}{8} \cdot - 16$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{51}{8}$ и $x$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot - 16$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $8$ из $- 16$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 (- 2))$

Этап 3.3.1.5.2

Сократим общий множитель.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + \frac{51}{8} \cdot (8 \cdot - 2)$

Этап 3.3.1.5.3

Перепишем это выражение.

$y - 76 = \frac{51 x}{8} + 51 \cdot - 2$

Этап 3.3.1.6

Умножим $51$ на $- 2$ .

$y - 76 = \frac{51 x}{8} - 102$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $76$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{51 x}{8} - 102 + 76$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 102$ и $76$ .

$y = \frac{51 x}{8} - 26$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{51}{8} x - 26$

Этап 4