Математический анализ Примеры

$9 \cos^{4} (x)$

Этап 1

Запишем $9 \cos^{4} (x)$ в виде функции.

$f (x) = 9 \cos^{4} (x)$

Этап 2

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 \cos^{4} (x)$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (x)]$ .

$f' (x) = 9 \frac{d}{d x} (\cos^{4} (x))$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$f' (x) = 9 (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 9 (4 u^{3} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$f' (x) = 9 (4 \cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.1.3

Умножим $4$ на $9$ .

$f' (x) = 36 (\cos^{3} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Этап 2.1.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 36 \cos^{3} (x) (- \sin (x))$

Этап 2.1.5

Умножим $- 1$ на $36$ .

$f' (x) = - 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Этап 2.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$ .

$- 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$

Этап 3

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$

Этап 3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Этап 3.3

Приравняем $\cos^{3} (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Приравняем $\cos^{3} (x)$ к $0$ .

$\cos^{3} (x) = 0$

Этап 3.3.2

Решим $\cos^{3} (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \sqrt[3]{0}$

Этап 3.3.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\cos (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 3.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$\cos (x) = 0$

Этап 3.3.2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 3.3.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 3.3.2.5

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 3.3.2.6

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.3.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 3.3.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 3.3.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.6.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 3.3.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 3.3.2.7

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.3.2.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.3.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.3.2.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.3.2.8

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.4

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 3.4.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 3.4.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 3.4.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 3.4.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 3.4.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 3.4.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 3.4.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 3.4.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 3.4.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 36 \cos^{3} (x) \sin (x) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3.6

Объединим ответы.

$x = \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 4

Значения, при которых производная равна $0$ : $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Этап 5

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = - 36 \cos^{3} (x) \sin (x)$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 9 \cos^{4} (x)$ в интервале $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, \frac{π n}{2})$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π n}{2} - 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = - 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Этап 6.2

Окончательный ответ: $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ .

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Этап 6.3

Упростим.

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$

Этап 6.4

При $x = \frac{π n}{2} - 1$ производная имеет вид $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} - 1) \sin (\frac{π n}{2} - 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Убывание на $(- \infty, \frac{π n}{2})$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{π n}{2}, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π n}{2} + 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = - 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Этап 7.2

Окончательный ответ: $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ .

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Этап 7.3

Упростим.

$- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$

Этап 7.4

При $x = \frac{π n}{2} + 1$ производная имеет вид $- 36 \cos^{3} (\frac{π n}{2} + 1) \sin (\frac{π n}{2} + 1)$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Убывание на $(\frac{π n}{2}, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Убывание на: $(- \infty, \frac{π n}{2}), (\frac{π n}{2}, \infty)$

Этап 9