Математический анализ Примеры

$y = x \cos (1 - 3 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (1 - 3 x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (1 - 3 x)] + \cos (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 1 - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + \cos (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + \cos (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 3 x$ .

$x (- \sin (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 - 3 x]) + \cos (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$x (- \sin (1 - 3 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x])) + \cos (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (- \sin (1 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])) + \cos (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$x (- \sin (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \cos (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- \sin (1 - 3 x) (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$x (3 \sin (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (3 \sin (1 - 3 x) \cdot 1) + \cos (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$x (3 \sin (1 - 3 x)) + \cos (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (3 \sin (1 - 3 x)) + \cos (1 - 3 x) \cdot 1$

Этап 3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $\cos (1 - 3 x)$ на $1$ .

$x (3 \sin (1 - 3 x)) + \cos (1 - 3 x)$

Этап 3.9.2

Изменим порядок членов.

$3 x \sin (1 - 3 x) + \cos (1 - 3 x)$