Математический анализ Примеры

$y = x^{2} \arctan (x)$

Этап 1

Эту производную не удалось вычислить с помощью цепного правила. Mathway использует другой способ.

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \arctan (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$x^{2} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

Этап 5

Чтобы записать $\arctan (x) (2 x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (2 x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + \arctan (x) (2 x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + \arctan (x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x \cdot 1 + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 (x^{2} x))}{1 + x^{2}}$

Этап 7.2.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 (x^{2} x^{1}))}{1 + x^{2}}$

Этап 7.2.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x^{2 + 1})}{1 + x^{2}}$

Этап 7.2.1.3.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x^{3})}{1 + x^{2}}$

Этап 7.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + 2 \arctan (x) x^{3}}{1 + x^{2}}$

Этап 7.2.2

Изменим порядок множителей в $x^{2} + 2 \arctan (x) x + 2 \arctan (x) x^{3}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x \arctan (x) + 2 x^{3} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} + 2 x \arctan (x) + 2 x^{3} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$