Математический анализ Примеры

$\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{5} x^{5} + \frac{7}{2} x^{4} + \frac{71}{3} x^{3} + 77 x^{2} + 120 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{5} x^{5}$ по $x$ равна $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.2.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.2.4

Объединим $\frac{5}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.2.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.2.5.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{7}{2} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $\frac{7}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{7}{2} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} + \frac{7}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.3.3

Объединим $4$ и $\frac{7}{2}$ .

$x^{4} + \frac{4 \cdot 7}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.3.4

Умножим $4$ на $7$ .

$x^{4} + \frac{28}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.3.5

Объединим $\frac{28}{2}$ и $x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{28 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.3.6

Сократим общий множитель $28$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $28 x^{3}$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{4} + \frac{2 (14 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{4} + \frac{14 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.3.6.2.4

Разделим $14 x^{3}$ на $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{71}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.1

Поскольку $\frac{71}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{71}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.4.3

Объединим $3$ и $\frac{71}{3}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 \cdot 71}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.4.4

Умножим $3$ на $71$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.4.5

Объединим $\frac{213}{3}$ и $x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{213 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.4.6

Сократим общий множитель $213$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.6.1

Вынесем множитель $3$ из $213 x^{2}$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.4.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{3 (71 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{4} + 14 x^{3} + \frac{71 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.4.6.2.4

Разделим $71 x^{2}$ на $1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + \frac{d}{d x} [77 x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [77 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Поскольку $77$ является константой относительно $x$ , производная $77 x^{2}$ по $x$ равна $77 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 77 (2 x) + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим $2$ на $77$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + \frac{d}{d x} [120 x]$

Этап 2.1.1.6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [120 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.6.1

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $120 x$ по $x$ равна $120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120 \cdot 1$

Этап 2.1.1.6.3

Умножим $120$ на $1$ .

$f' (x) = x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 14 x^{3} + 71 x^{2} + 154 x + 120$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Этап 2.1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Этап 2.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x^{3}$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Этап 2.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Этап 2.1.2.2.3

Умножим $3$ на $14$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [71 x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Этап 2.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [71 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Поскольку $71$ является константой относительно $x$ , производная $71 x^{2}$ по $x$ равна $71 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Этап 2.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 71 (2 x) + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Этап 2.1.2.3.3

Умножим $2$ на $71$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + \frac{d}{d x} [154 x] + \frac{d}{d x} [120]$

Этап 2.1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [154 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Поскольку $154$ является константой относительно $x$ , производная $154 x$ по $x$ равна $154 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [120]$

Этап 2.1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [120]$

Этап 2.1.2.4.3

Умножим $154$ на $1$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + \frac{d}{d x} [120]$

Этап 2.1.2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.5.1

Поскольку $120$ является константой относительно $x$ , производная $120$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 + 0$

Этап 2.1.2.5.2

Добавим $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Этап 2.2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3} + 42 x^{2} + 142 x + 154$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$2 (2 x^{3}) + 42 x^{2} + 142 x + 154 = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $42 x^{2}$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 142 x + 154 = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Вынесем множитель $2$ из $142 x$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 154 = 0$

Этап 2.2.2.1.4

Вынесем множитель $2$ из $154$ .

$2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Этап 2.2.2.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3}) + 2 (21 x^{2})$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x) + 2 (77) = 0$

Этап 2.2.2.1.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3} + 21 x^{2}) + 2 (71 x)$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77) = 0$

Этап 2.2.2.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x) + 2 (77)$ .

$2 (2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77) = 0$

Этап 2.2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Разложим $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 77, \pm 7, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.2.2.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 77, \pm 38.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 11, \pm 5.5$

Этап 2.2.2.2.1.3

Подставим $- 3.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 3.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.3.1

Подставим $- 3.5$ в многочлен.

$2 {(- 3.5)}^{3} + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Этап 2.2.2.2.1.3.2

Возведем $- 3.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 42.875 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Этап 2.2.2.2.1.3.3

Умножим $2$ на $- 42.875$ .

$- 85.75 + 21 {(- 3.5)}^{2} + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Этап 2.2.2.2.1.3.4

Возведем $- 3.5$ в степень $2$ .

$- 85.75 + 21 \cdot 12.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Этап 2.2.2.2.1.3.5

Умножим $21$ на $12.25$ .

$- 85.75 + 257.25 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Этап 2.2.2.2.1.3.6

Добавим $- 85.75$ и $257.25$ .

$171.5 + 71 \cdot - 3.5 + 77$

Этап 2.2.2.2.1.3.7

Умножим $71$ на $- 3.5$ .

$171.5 - 248.5 + 77$

Этап 2.2.2.2.1.3.8

Вычтем $248.5$ из $171.5$ .

$- 77 + 77$

Этап 2.2.2.2.1.3.9

Добавим $- 77$ и $77$ .

$0$

Этап 2.2.2.2.1.4

Поскольку $- 3.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 7$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77}{2 x + 7}$

Этап 2.2.2.2.1.5

Разделим $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ на $2 x + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$7$

$2 x^{3}$

$21 x^{2}$

$71 x$

$77$

Этап 2.2.2.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$

Этап 2.2.2.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			+	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Этап 2.2.2.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + 7 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Этап 2.2.2.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

Этап 2.2.2.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Этап 2.2.2.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $14 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$

Этап 2.2.2.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$49 x$

Этап 2.2.2.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $14 x^{2} + 49 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$

Этап 2.2.2.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$

Этап 2.2.2.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Этап 2.2.2.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $22 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$

Этап 2.2.2.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							+	$22 x$	+	$77$

Этап 2.2.2.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $22 x + 77$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$

Этап 2.2.2.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$11$
$2 x$	+	$7$		$2 x^{3}$	+	$21 x^{2}$	+	$71 x$	+	$77$
			-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	+	$71 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$49 x$
							+	$22 x$	+	$77$
							-	$22 x$	-	$77$
										$0$

Этап 2.2.2.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 7 x + 11$

Этап 2.2.2.2.1.6

Запишем $2 x^{3} + 21 x^{2} + 71 x + 77$ в виде набора множителей.

$2 ((2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11)) = 0$

Этап 2.2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$

Этап 2.2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Этап 2.2.4

Приравняем $2 x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Приравняем $2 x + 7$ к $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Этап 2.2.4.2

Решим $2 x + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 7$

Этап 2.2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 7$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 7$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Этап 2.2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Этап 2.2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Этап 2.2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7}{2}$

Этап 2.2.5

Приравняем $x^{2} + 7 x + 11$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Приравняем $x^{2} + 7 x + 11$ к $0$ .

$x^{2} + 7 x + 11 = 0$

Этап 2.2.5.2

Решим $x^{2} + 7 x + 11 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 7$ и $c = 11$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 11)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.3.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.3.1.3

Вычтем $44$ из $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.4.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.4.1.3

Вычтем $44$ из $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.5.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.5.2.4.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.5.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{5})}{2}$

Этап 2.2.5.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{5})}{2}$

Этап 2.2.5.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.5.1.1

Возведем $7$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $11$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 44}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.5.1.3

Вычтем $44$ из $49$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.5.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.5.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.5.2.5.4

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.5.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{5}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{5})}{2}$

Этап 2.2.5.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (7) - (\sqrt{5})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{5})}{2}$

Этап 2.2.5.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 2.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (2 x + 7) (x^{2} + 7 x + 11) = 0$ верно.

$x = - \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2}) \cup (- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7$ .

$f'' (- 7) = 4 {(- 7)}^{3} + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$f'' (- 7) = 4 \cdot - 343 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Этап 5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 343$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 {(- 7)}^{2} + 142 (- 7) + 154$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 42 \cdot 49 + 142 (- 7) + 154$

Этап 5.2.1.4

Умножим $42$ на $49$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 + 142 (- 7) + 154$

Этап 5.2.1.5

Умножим $142$ на $- 7$ .

$f'' (- 7) = - 1372 + 2058 - 994 + 154$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 1372$ и $2058$ .

$f'' (- 7) = 686 - 994 + 154$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $994$ из $686$ .

$f'' (- 7) = - 308 + 154$

Этап 5.2.2.3

Добавим $- 308$ и $154$ .

$f'' (- 7) = - 154$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 154$ .

$- 154$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ , поскольку $f'' (- 7)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = 4 \cdot - 64 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Этап 6.2.1.2

Умножим $4$ на $- 64$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 42 {(- 4)}^{2} + 142 (- 4) + 154$

Этап 6.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 42 \cdot 16 + 142 (- 4) + 154$

Этап 6.2.1.4

Умножим $42$ на $16$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 672 + 142 (- 4) + 154$

Этап 6.2.1.5

Умножим $142$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = - 256 + 672 - 568 + 154$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 256$ и $672$ .

$f'' (- 4) = 416 - 568 + 154$

Этап 6.2.2.2

Вычтем $568$ из $416$ .

$f'' (- 4) = - 152 + 154$

Этап 6.2.2.3

Добавим $- 152$ и $154$ .

$f'' (- 4) = 2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 6.3

График вогнут вверх на интервале $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f'' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (- 3) = 4 \cdot - 27 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Этап 7.2.1.2

Умножим $4$ на $- 27$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 42 {(- 3)}^{2} + 142 (- 3) + 154$

Этап 7.2.1.3

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 42 \cdot 9 + 142 (- 3) + 154$

Этап 7.2.1.4

Умножим $42$ на $9$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 378 + 142 (- 3) + 154$

Этап 7.2.1.5

Умножим $142$ на $- 3$ .

$f'' (- 3) = - 108 + 378 - 426 + 154$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $- 108$ и $378$ .

$f'' (- 3) = 270 - 426 + 154$

Этап 7.2.2.2

Вычтем $426$ из $270$ .

$f'' (- 3) = - 156 + 154$

Этап 7.2.2.3

Добавим $- 156$ и $154$ .

$f'' (- 3) = - 2$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 2$ .

$- 2$

Этап 7.3

График вогнут вниз на интервале $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ , поскольку $f'' (- 3)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 8

Подставим любое число из интервала $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 4 {(0)}^{3} + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 4 \cdot 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Этап 8.2.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 42 {(0)}^{2} + 142 (0) + 154$

Этап 8.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 0 + 42 \cdot 0 + 142 (0) + 154$

Этап 8.2.1.4

Умножим $42$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 142 (0) + 154$

Этап 8.2.1.5

Умножим $142$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 0 + 154$

Этап 8.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 154$

Этап 8.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (0) = 0 + 154$

Этап 8.2.2.3

Добавим $0$ и $154$ .

$f'' (0) = 154$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $154$ .

$154$

Этап 8.3

График вогнут вверх на интервале $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 9

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - \frac{7 + \sqrt{5}}{2})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{7 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{7}{2})$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(- \frac{7}{2}, - \frac{7 - \sqrt{5}}{2})$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- \frac{7 - \sqrt{5}}{2}, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 10