Математический анализ Примеры

$13 e^{- x}$

Этап 1

Запишем $13 e^{- x}$ в виде функции.

$f (x) = 13 e^{- x}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Поскольку $13$ является константой относительно $x$ , производная $13 e^{- x}$ по $x$ равна $13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$13 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$13 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$13 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$13 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.1.3.2

Умножим $- 1$ на $13$ .

$- 13 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 13 e^{- x} \cdot 1$

Этап 2.1.1.3.4

Умножим $- 13$ на $1$ .

$f' (x) = - 13 e^{- x}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Поскольку $- 13$ является константой относительно $x$ , производная $- 13 e^{- x}$ по $x$ равна $- 13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- 13 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 2.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$- 13 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.1.2.2.2

$- 13 (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$- 13 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 2.1.2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 13 e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.1.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 13$ .

$13 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$13 e^{- x} \cdot 1$

Этап 2.1.2.3.4

Умножим $13$ на $1$ .

$f'' (x) = 13 e^{- x}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $13 e^{- x}$ .

$13 e^{- x}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $13 e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$13 e^{- x} = 0$

Этап 2.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (13 e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 2.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 2.2.4

Нет решения для $13 e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

График вогнут вверх, так как вторая производная положительна.

График имеет вогнутость вверх.

Этап 5