Математический анализ Примеры

$\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$

Этап 1

Запишем $\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2} - x - 6}]$

Этап 2.1.1.1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{x^{2} - x - 6}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - x - 6}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} - x - 6}]$

Этап 2.1.1.1.3

Перепишем $\frac{1}{x^{2} - x - 6}$ в виде ${(x^{2} - x - 6)}^{- 1}$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{- 1}]$

Этап 2.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2} - x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - x - 6$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Этап 2.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Этап 2.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - x - 6$ .

$- 2 (- {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Этап 2.1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 ({(x^{2} - x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6])$

Этап 2.1.1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.1.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.1.1.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.1.1.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.1.1.3.7

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1 + 0)$

Этап 2.1.1.3.8

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 2} (2 x - 1)$

Этап 2.1.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$

Этап 2.1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$

Этап 2.1.1.5.2

Изменим порядок множителей в $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 x - 1)$ .

$f' (x) = (2 x - 1) \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2 x - 1$ и $g (x) = \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$(2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}]$ .

$(2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.1

Перенесем $2$ влево от $2 x - 1$ .

$2 \cdot (2 x - 1) \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ в виде ${({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.2.2.3

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - x - 6)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{2 \cdot - 1}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.2.2.3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - x - 6)}^{- 2}] + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - x - 6$ .

$2 (2 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$2 (2 x - 1) (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - x - 6$ .

$2 (2 x - 1) (- 2 {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} - x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6])) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.4.7

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1 + 0)) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.4.8

Добавим $2 x - 1$ и $0$ .

$- 4 (2 x - 1) ({(x^{2} - x - 6)}^{- 3} (2 x - 1)) + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.5

Возведем $2 x - 1$ в степень $1$ .

$- 4 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1)) {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.6

Возведем $2 x - 1$ в степень $1$ .

$- 4 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1}) {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 4 {(2 x - 1)}^{1 + 1} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Этап 2.1.2.9

По правилу суммы производная $2 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.1.2.10

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.1.2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.1.2.12

Умножим $2$ на $1$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.1.2.13

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} (2 + 0)$

Этап 2.1.2.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.14.1

Добавим $2$ и $0$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} \cdot 2$

Этап 2.1.2.14.2

Объединим $\frac{2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ и $2$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{2 \cdot 2}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.14.3

Умножим $2$ на $2$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.15

Чтобы записать $- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} \cdot \frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.16

Объединим $- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ и $\frac{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} {(x^{2} - x - 6)}^{2}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}} + \frac{4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.17

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3} {(x^{2} - x - 6)}^{2} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.18

Умножим ${(x^{2} - x - 6)}^{- 3}$ на ${(x^{2} - x - 6)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.18.1

Перенесем ${(x^{2} - x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} ({(x^{2} - x - 6)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 3}) + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.18.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{2 - 3} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.18.3

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} {(x^{2} - x - 6)}^{- 1} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.1

Перепишем ${(2 x - 1)}^{2}$ в виде $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{- 4 ((2 x - 1) (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.2

Развернем $(2 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 4 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- 4 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.3.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{- 4 (4 x^{2} - 4 x + 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- 4 (4 x^{2}) - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.5.1

Умножим $4$ на $- 4$ .

$\frac{(- 16 x^{2} - 4 (- 4 x) - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.5.2

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4 \cdot 1) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.5.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4) \frac{1}{x^{2} - x - 6} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.6

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 6$ , а сумма — $- 1$ .

$- 3, 2$

Этап 2.1.2.19.2.1.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(- 16 x^{2} + 16 x - 4) \frac{1}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.7

Умножим $- 16 x^{2} + 16 x - 4$ на $\frac{1}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{\frac{- 16 x^{2} + 16 x - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.8.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2} + 16 x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.8.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16 x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.1.2

Вынесем множитель $4$ из $16 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 4}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.1.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.1.4

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.8.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 4 \cdot - 1 = 4$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.8.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 (x) - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.2.1.2

Запишем $4$ как $2$ плюс $2$

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + (2 + 2) x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 2 x + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.8.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{\frac{4 ((- 4 x^{2} + 2 x) + 2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{\frac{4 (2 x (- 2 x + 1) - (- 2 x + 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 x + 1$ .

$\frac{\frac{4 ((- 2 x + 1) (2 x - 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

$\frac{\frac{4 (- 2 x + 1) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.1.8.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 x) + 1) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 x - 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.3.4

Перепишем $- (2 x - 1)$ в виде $- 1 (2 x - 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- 1 (2 x - 1)) (2 x - 1)}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.3.5

Возведем $2 x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1))}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.3.6

Возведем $2 x - 1$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1})}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{1 + 1}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.8.3.9

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + 4 \cdot \frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.3

Объединим $4$ и $\frac{(x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$\frac{- \frac{4 {(2 x - 1)}^{2}}{(x - 3) (x + 2)} + \frac{4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- 4 {(2 x - 1)}^{2} + 4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 {(2 x - 1)}^{2} + 4 (x - 3) (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.5.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 {(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 (x - 3) (x + 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4 (x - 3) (x + 2)$ .

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 ((x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- {(2 x - 1)}^{2}) + 4 ((x - 3) (x + 2))$ .

$\frac{\frac{4 (- {(2 x - 1)}^{2} + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.2

Перепишем ${(2 x - 1)}^{2}$ в виде $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$\frac{\frac{4 (- ((2 x - 1) (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.3

Развернем $(2 x - 1) (2 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.5.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{4 (- (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.5.4.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.4.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.5.4.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.4.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{4 (- (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.4.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.4.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.4.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.4.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.4.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2} - 4 x + 1) + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{4 (- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.5.6.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} - (- 4 x) - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.6.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 \cdot 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + (x - 3) (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.7

Развернем $(x - 3) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.5.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x (x + 2) - 3 (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x \cdot x + x \cdot 2 - 3 (x + 2))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x \cdot x + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.5.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.2.5.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + x \cdot 2 - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.8.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + 2 \cdot x - 3 x - 3 \cdot 2)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.8.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} + 2 x - 3 x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.8.2

Вычтем $3 x$ из $2 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 1 + x^{2} - x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.9

Добавим $- 4 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 4 x - 1 - x - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.10

Вычтем $x$ из $4 x$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 3 x - 1 - 6)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.5.11

Вычтем $6$ из $- 1$ .

$\frac{\frac{4 (- 3 x^{2} + 3 x - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2}) + 3 x - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $3 x$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2}) - (- 3 x) - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x) - 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.9

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x) - 1 (7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 3 x) - 1 (7)$ .

$\frac{\frac{4 (- (3 x^{2} - 3 x + 7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.11

Перепишем $- (3 x^{2} - 3 x + 7)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 3 x + 7)$ .

$\frac{\frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 3 x + 7))}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.3.1

Перепишем $\frac{- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ в виде произведения.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$

Этап 2.1.2.19.3.2

Умножим $\frac{1}{{(x^{2} - x - 6)}^{2}}$ на $\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{(x - 3) (x + 2)}$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x^{2} - x - 6)}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Этап 2.1.2.19.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.4.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.4.1.1

$- 3, 2$

Этап 2.1.2.19.4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{((x - 3) (x + 2))}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Этап 2.1.2.19.4.2

Применим правило умножения к $(x - 3) (x + 2)$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x - 3) (x + 2)}$

Этап 2.1.2.19.4.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.19.4.3.1

Возведем $x - 3$ в степень $1$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{2} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Этап 2.1.2.19.4.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{1 + 2} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Этап 2.1.2.19.4.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{2} (x + 2)}$

Этап 2.1.2.19.4.3.4

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{2})}$

Этап 2.1.2.19.4.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{1 + 2}}$

Этап 2.1.2.19.4.3.6

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}}$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- \frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{{(x - 3)}^{3} {(x + 2)}^{3}} = 0$

Этап 2.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$

Этап 2.2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим каждый член $4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Разделим каждый член $4 (3 x^{2} - 3 x + 7) = 0$ на $4$ .

$\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (3 x^{2} - 3 x + 7)}{4} = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.3.1.2.1.2

Разделим $3 x^{2} - 3 x + 7$ на $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + 7 = \frac{0}{4}$

Этап 2.2.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.3.1

Разделим $0$ на $4$ .

$3 x^{2} - 3 x + 7 = 0$

Этап 2.2.3.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.2.3.3

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 3$ и $c = 7$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.3

Вычтем $84$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.2.3.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.3

Вычтем $84$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.2.3.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{3 + 5 i \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.2.3.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.6.1.2.2

Умножим $- 12$ на $7$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 84}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.6.1.3

Вычтем $84$ из $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.6.1.4

Перепишем $- 75$ в виде $- 1 (75)$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.6.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (75)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.6.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.6.1.7

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.6.1.7.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.6.1.7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.6.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{3 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.6.1.9

Перенесем $5$ влево от $i$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.3.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{3 \pm 5 i \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.2.3.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{3 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

Этап 2.2.3.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{3 + 5 i \sqrt{3}}{6}, \frac{3 - 5 i \sqrt{3}}{6}$

Этап 3

Найдем область определения $f (x) = \frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{- 2}{x^{2} - x - 6}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} - x - 6 = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим $x^{2} - x - 6$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

$- 3, 2$

Этап 3.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

Этап 3.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 3.2.3

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 3.2.3.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 3.2.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 3.2.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 3.2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 3) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 3, - 2$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 2, 3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq - 2, 3}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, - 2)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (3 {(- 4)}^{2} - 3 \cdot - 4 + 7)}{{((- 4) - 3)}^{3} {((- 4) + 2)}^{3}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (3 \cdot 16 - 3 \cdot - 4 + 7)}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (48 - 3 \cdot - 4 + 7)}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (48 + 12 + 7)}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Этап 5.2.1.4

Добавим $48$ и $12$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (60 + 7)}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Этап 5.2.1.5

Добавим $60$ и $7$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{{(- 4 - 3)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $3$ из $- 4$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{{(- 7)}^{3} {(- 4 + 2)}^{3}}$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 4$ и $2$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{{(- 7)}^{3} {(- 2)}^{3}}$

Этап 5.2.2.3

Возведем $- 7$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{- 343 {(- 2)}^{3}}$

Этап 5.2.2.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{- 343 \cdot - 8}$

Этап 5.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $4$ на $67$ .

$f'' (- 4) = - \frac{268}{- 343 \cdot - 8}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $- 343$ на $- 8$ .

$f'' (- 4) = - \frac{268}{2744}$

Этап 5.2.3.3

Сократим общий множитель $268$ и $2744$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $268$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 (67)}{2744}$

Этап 5.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $2744$ .

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{4 \cdot 686}$

Этап 5.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- 4) = - \frac{4 \cdot 67}{4 \cdot 686}$

Этап 5.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- 4) = - \frac{67}{686}$

Этап 5.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{67}{686}$ .

$- \frac{67}{686}$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, - 2)$ , поскольку $f'' (- 4)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6

Подставим любое число из интервала $(- 2, 3)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (3 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 + 7)}{{((0) - 3)}^{3} {((0) + 2)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (3 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 7)}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 - 3 \cdot 0 + 7)}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 + 0 + 7)}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Этап 6.2.1.4

Добавим $0$ и $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (0 + 7)}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Этап 6.2.1.5

Добавим $0$ и $7$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{{(0 - 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $3$ из $0$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{{(- 3)}^{3} {(0 + 2)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{{(- 3)}^{3} \cdot 2^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{- 27 \cdot 2^{3}}$

Этап 6.2.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{- 27 \cdot 8}$

Этап 6.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Умножим $4$ на $7$ .

$f'' (0) = - \frac{28}{- 27 \cdot 8}$

Этап 6.2.3.2

Умножим $- 27$ на $8$ .

$f'' (0) = - \frac{28}{- 216}$

Этап 6.2.3.3

Сократим общий множитель $28$ и $- 216$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$f'' (0) = - \frac{4 (7)}{- 216}$

Этап 6.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 216$ .

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 54}$

Этап 6.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = - \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 54}$

Этап 6.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = - \frac{7}{- 54}$

Этап 6.2.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (0) = \frac{7}{54}$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $\frac{7}{54}$ .

$\frac{7}{54}$

Этап 6.3

График вогнут вверх на интервале $(- 2, 3)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- 2, 3)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 7

Подставим любое число из интервала $(3, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (3 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 + 7)}{{((6) - 3)}^{3} {((6) + 2)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (3 \cdot 36 - 3 \cdot 6 + 7)}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $36$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (108 - 3 \cdot 6 + 7)}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 3$ на $6$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (108 - 18 + 7)}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Этап 7.2.1.4

Вычтем $18$ из $108$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (90 + 7)}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Этап 7.2.1.5

Добавим $90$ и $7$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{{(6 - 3)}^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $3$ из $6$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{3^{3} {(6 + 2)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $6$ и $2$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{3^{3} \cdot 8^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{27 \cdot 8^{3}}$

Этап 7.2.2.4

Возведем $8$ в степень $3$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{27 \cdot 512}$

Этап 7.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $4$ на $97$ .

$f'' (6) = - \frac{388}{27 \cdot 512}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $27$ на $512$ .

$f'' (6) = - \frac{388}{13824}$

Этап 7.2.3.3

Сократим общий множитель $388$ и $13824$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.1

Вынесем множитель $4$ из $388$ .

$f'' (6) = - \frac{4 (97)}{13824}$

Этап 7.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $13824$ .

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{4 \cdot 3456}$

Этап 7.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (6) = - \frac{4 \cdot 97}{4 \cdot 3456}$

Этап 7.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (6) = - \frac{97}{3456}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{97}{3456}$ .

$- \frac{97}{3456}$

Этап 7.3

График вогнут вниз на интервале $(3, \infty)$ , поскольку $f'' (6)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(3, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 8

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, - 2)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Вогнутость вверх на интервале $(- 2, 3)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(3, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 9