Математический анализ Примеры

$3 \sin (x) + 3 \cos (x)$

Этап 1

Запишем $3 \sin (x) + 3 \cos (x)$ в виде функции.

$f (x) = 3 \sin (x) + 3 \cos (x)$

Этап 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

По правилу суммы производная $3 \sin (x) + 3 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.1.1.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$

Этап 2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 2.1.1.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 \cos (x) + 3 (- \sin (x))$

Этап 2.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = 3 \cos (x) - 3 \sin (x)$

Этап 2.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $3 \cos (x) - 3 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cos (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.1.2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.1.2.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$

Этап 2.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \sin (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 3 \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.1.2.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x) - 3 \cos (x)$

Этап 2.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)$ .

$- 3 \sin (x) - 3 \cos (x)$

Этап 2.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 3 \sin (x) - 3 \cos (x) = 0$

Этап 2.2.2

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{- 3 \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.2.3

Разделим дроби.

$\frac{- 3}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.2.4

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{- 3}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.2.5

Разделим $- 3$ на $1$ .

$- 3 \tan (x) + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.2.6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Сократим общий множитель.

$- 3 \tan (x) + \frac{- 3 \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.2.6.2

Разделим $- 3$ на $1$ .

$- 3 \tan (x) - 3 = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 2.2.7

Разделим дроби.

$- 3 \tan (x) - 3 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.2.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- 3 \tan (x) - 3 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 2.2.9

Разделим $0$ на $1$ .

$- 3 \tan (x) - 3 = 0 \sec (x)$

Этап 2.2.10

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$- 3 \tan (x) - 3 = 0$

Этап 2.2.11

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$- 3 \tan (x) = 3$

Этап 2.2.12

Разделим каждый член $- 3 \tan (x) = 3$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Разделим каждый член $- 3 \tan (x) = 3$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 \tan (x)}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

Этап 2.2.12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 \tan (x)}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

Этап 2.2.12.2.1.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{3}{- 3}$

Этап 2.2.12.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.3.1

Разделим $3$ на $- 3$ .

$\tan (x) = - 1$

Этап 2.2.13

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 2.2.14

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.14.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 2.2.15

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 2.2.16

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.16.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 2.2.16.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.2.17

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.17.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.2.17.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.2.17.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.2.17.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.2.18

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.18.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 2.2.18.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.2.18.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.18.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 2.2.18.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 2.2.18.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.18.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 2.2.18.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 2.2.18.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 2.2.19

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 4

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, \infty)$

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(- \infty, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = - 3 \sin (0) - 3 \cos (0)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f'' (0) = - 3 \cdot 0 - 3 \cos (0)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 3$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 3 \cos (0)$

Этап 5.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f'' (0) = 0 - 3 \cdot 1$

Этап 5.2.1.4

Умножим $- 3$ на $1$ .

$f'' (0) = 0 - 3$

Этап 5.2.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$f'' (0) = - 3$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(- \infty, \infty)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(- \infty, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6