Математический анализ Примеры

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

Этап 1

Применим правило умножения к $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$y = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 2

Примем $y$ как функцию $x$ .

$f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = {(3 x - 1)}^{2}$ и $g (x) = {(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}] - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}] - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{2}] - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $3 x - 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 x - 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (2 (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $2$ влево от ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.4.2

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.4.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.4.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.4.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) (3 + 0) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) \cdot 3 - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.4.7.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - {(3 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} + 3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - {(3 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - {(3 x - 1)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} + 3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - {(3 x - 1)}^{2} (2 (x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3])}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.6.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) (2 x + \frac{d}{d x} [3]))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.6.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.6.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.6.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 2 {(3 x - 1)}^{2} (2 \cdot (x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.6.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 4 {(3 x - 1)}^{2} ((x^{2} + 3) x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 4 {(3 x - 1)}^{2} (x^{2} x + 3 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Вынесем множитель $2 (3 x - 1)$ из $6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1) - 4 {(3 x - 1)}^{2} (x^{2} x + 3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1.1

Вынесем множитель $2 (3 x - 1)$ из $6 {(x^{2} + 3)}^{2} (3 x - 1)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2}) - 4 {(3 x - 1)}^{2} (x^{2} x + 3 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.1.2

Вынесем множитель $2 (3 x - 1)$ из $- 4 {(3 x - 1)}^{2} (x^{2} x + 3 x)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2}) + 2 (3 x - 1) (- 2 (3 x - 1) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.1.3

Вынесем множитель $2 (3 x - 1)$ из $2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2}) + 2 (3 x - 1) (- 2 (3 x - 1) (x^{2} x + 3 x))$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} - 2 (3 x - 1) (x^{2} x + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} - 2 (3 x - 1) (x^{2} x^{1} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} - 2 (3 x - 1) (x^{2 + 1} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 {(x^{2} + 3)}^{2} - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.1

Перепишем ${(x^{2} + 3)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 ((x^{2} + 3) (x^{2} + 3)) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.2

Развернем $(x^{2} + 3) (x^{2} + 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} (x^{2} + 3) + 3 (x^{2} + 3)) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 (x^{2} + 3)) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.3.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{4} + x^{2} \cdot 3 + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.3.1.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{4} + 3 \cdot x^{2} + 3 x^{2} + 3 \cdot 3) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.3.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{4} + 3 x^{2} + 3 x^{2} + 9) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.3.2

Добавим $3 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{4} + 6 x^{2} + 9) - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 3 (6 x^{2}) + 3 \cdot 9 - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.5.1

Умножим $6$ на $3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 3 \cdot 9 - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.5.2

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 2 (3 x - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.7

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 + (- 6 x - 2 \cdot - 1) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.8

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 + (- 6 x + 2) (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.9

Развернем $(- 6 x + 2) (x^{3} + 3 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x (x^{3} + 3 x) + 2 (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x^{3} - 6 x (3 x) + 2 (x^{3} + 3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x^{3} - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.10.1

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.10.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 (x^{3} x) - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.10.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.10.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 (x^{3} x^{1}) - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.10.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{3 + 1} - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.10.1.3

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 6 x (3 x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.10.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 6 \cdot 3 x \cdot x + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.10.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.3.10.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 6 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.10.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 6 \cdot 3 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.10.4

Умножим $- 6$ на $3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 18 x^{2} + 2 x^{3} + 2 (3 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.3.10.5

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 18 x^{2} + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.4

Объединим противоположные члены в $3 x^{4} + 18 x^{2} + 27 - 6 x^{4} - 18 x^{2} + 2 x^{3} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.4.1

Вычтем $18 x^{2}$ из $18 x^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 27 - 6 x^{4} + 0 + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.4.2

Добавим $3 x^{4} + 27 - 6 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 x^{4} + 27 - 6 x^{4} + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.5

Вычтем $6 x^{4}$ из $3 x^{4}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 x^{4} + 27 + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.6

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 x^{4} + 2 x^{3} + 6 x + 27)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7

Перепишем $- 3 x^{4} + 2 x^{3} + 6 x + 27$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.7.1

Перегруппируем члены.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 x^{4} + 27 + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.2

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{4} + 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.7.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{4}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{4}) + 27 + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.2.2

Вынесем множитель $- 3$ из $27$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{4}) - 3 (- 9) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.2.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{4}) - 3 (- 9)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{4} - 9) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 ({(x^{2})}^{2} - 9) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 ({(x^{2})}^{2} - 3^{2}) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.6

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.7.6.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x (x^{2}) + 6 x)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.6.2

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x (x^{2}) + 2 x (3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.6.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (3)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.7

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) + 2 x (x^{2} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.7.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $- 3 (x^{2} + 3) (x^{2} - 3)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 (x^{2} - 3)) + 2 x (x^{2} + 3))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $2 x (x^{2} + 3)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 (x^{2} - 3)) + (x^{2} + 3) (2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $(x^{2} + 3) (- 3 (x^{2} - 3)) + (x^{2} + 3) (2 x)$ .

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 (x^{2} - 3) + 2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 x^{2} - 3 \cdot - 3 + 2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.9

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.2.7.10

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (3 x - 1) ((x^{2} + 3) (- 3 x^{2} + 2 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

$\frac{2 (3 x - 1) (x^{2} + 3) (- 3 x^{2} + 2 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.3

Сократим общий множитель $x^{2} + 3$ и ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из $2 (3 x - 1) (x^{2} + 3) (- 3 x^{2} + 2 x + 9)$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 (3 x - 1) (- 3 x^{2} + 2 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{4}}$

Этап 3.7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 3$ из ${(x^{2} + 3)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (2 (3 x - 1) (- 3 x^{2} + 2 x + 9))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 3) (2 (3 x - 1) (- 3 x^{2} + 2 x + 9))}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (3 x - 1) (- 3 x^{2} + 2 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.7.4

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (- 3 x^{2} + 2 x + 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (3 x^{2}) + 2 x + 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$\frac{2 (- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{2} - 2 x) + 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.7.8

Перепишем $9$ в виде $- 1 (- 9)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.7.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 9)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{2} - 2 x - 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.7.10

Перепишем $- (3 x^{2} - 2 x - 9)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 x^{2} - 2 x - 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.7.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(2 (3 x^{2} - 2 x - 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.7.12

Изменим порядок множителей в $- \frac{(2 (3 x^{2} - 2 x - 9)) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{2} - 2 x - 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 4

Приравняем производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{2 (3 x^{2} - 2 x - 9) (3 x - 1)}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем числитель к нулю.

$2 (3 x^{2} - 2 x - 9) (3 x - 1) = 0$

Этап 4.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 9 = 0$

$3 x - 1 = 0$

Этап 4.2.2

Приравняем $3 x^{2} - 2 x - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Приравняем $3 x^{2} - 2 x - 9$ к $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 9 = 0$

Этап 4.2.2.2

Решим $3 x^{2} - 2 x - 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2.2.2.2

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 2$ и $c = - 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 9)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.3.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 9$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 108}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.3.1.3

Добавим $4$ и $108$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4

Перепишем $112$ в виде $4^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $112$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.3.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$

Этап 4.2.2.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{7}}{3}$

Этап 4.2.2.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 9$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 108}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.4.1.3

Добавим $4$ и $108$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.4.1.4

Перепишем $112$ в виде $4^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $112$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.4.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$

Этап 4.2.2.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{7}}{3}$

Этап 4.2.2.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}$

Этап 4.2.2.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot - 9}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.5.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 9$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 108}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.5.1.3

Добавим $4$ и $108$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{112}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.5.1.4

Перепишем $112$ в виде $4^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $112$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16 (7)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.2.2.5.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$

Этап 4.2.2.2.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{7}}{3}$

Этап 4.2.2.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$

Этап 4.2.2.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}, \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$

Этап 4.2.3

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Приравняем $3 x - 1$ к $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Этап 4.2.3.2

Решим $3 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 1$

Этап 4.2.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 4.2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Этап 4.2.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (3 x^{2} - 2 x - 9) (3 x - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}, \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}, \frac{1}{3}$

Этап 5

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ в точке $x = \frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(1 + 2 \sqrt{7} - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(0 + 2 \sqrt{7})}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.3

Добавим $0$ и $2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(2 \sqrt{7})}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.4

Применим правило умножения к $2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 {\sqrt{7}}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.1.6.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{({(\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{{(1 + 2 \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{{(1 + 2 \sqrt{7})}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.3

Перепишем ${(1 + 2 \sqrt{7})}^{2}$ в виде $(1 + 2 \sqrt{7}) (1 + 2 \sqrt{7})$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{(1 + 2 \sqrt{7}) (1 + 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.4

Развернем $(1 + 2 \sqrt{7}) (1 + 2 \sqrt{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 (1 + 2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} (1 + 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 \cdot 1 + 1 (2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} (1 + 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 \cdot 1 + 1 (2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} \cdot 1 + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 1 (2 \sqrt{7}) + 2 \sqrt{7} \cdot 1 + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.2

Умножим $2 \sqrt{7}$ на $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} \cdot 1 + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.4

Умножим $2 \sqrt{7} (2 \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1.4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.4.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.4.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.5

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.5.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.1.6

Умножим $4$ на $7$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 28}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.2

Добавим $1$ и $28$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.5.3

Добавим $2 \sqrt{7}$ и $2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 5.2.2.6

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9})}^{2}}$

Этап 5.2.2.7

Объединим $3$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Этап 5.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Этап 5.2.2.9

Перепишем $\frac{29 + 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 9}{9}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.9.1

Умножим $3$ на $9$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 + 4 \sqrt{7} + 27}{9})}^{2}}$

Этап 5.2.2.9.2

Добавим $29$ и $27$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{56 + 4 \sqrt{7}}{9})}^{2}}$

Этап 5.2.2.10

Применим правило умножения к $\frac{56 + 4 \sqrt{7}}{9}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{{(56 + 4 \sqrt{7})}^{2}}{9^{2}}}$

Этап 5.2.2.11

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{{(56 + 4 \sqrt{7})}^{2}}{81}}$

Этап 5.2.2.12

Перепишем ${(56 + 4 \sqrt{7})}^{2}$ в виде $(56 + 4 \sqrt{7}) (56 + 4 \sqrt{7})$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{(56 + 4 \sqrt{7}) (56 + 4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 5.2.2.13

Развернем $(56 + 4 \sqrt{7}) (56 + 4 \sqrt{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 (56 + 4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} (56 + 4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 5.2.2.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 \cdot 56 + 56 (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} (56 + 4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 5.2.2.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 \cdot 56 + 56 (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} \cdot 56 + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 5.2.2.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.14.1.1

Умножим $56$ на $56$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 56 (4 \sqrt{7}) + 4 \sqrt{7} \cdot 56 + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.2

Умножим $4$ на $56$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \cdot 56 + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.3

Умножим $56$ на $4$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.4

Умножим $4 \sqrt{7} (4 \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.14.1.4.1

Умножим $4$ на $4$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \sqrt{7} \sqrt{7}}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.4.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.4.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 {\sqrt{7}}^{2}}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.5

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.14.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.14.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7}{81}}$

Этап 5.2.2.14.1.6

Умножим $16$ на $7$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7} + 112}{81}}$

Этап 5.2.2.14.2

Добавим $3136$ и $112$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3248 + 224 \sqrt{7} + 224 \sqrt{7}}{81}}$

Этап 5.2.2.14.3

Добавим $224 \sqrt{7}$ и $224 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{81}}$

Этап 5.2.3

Умножим $4$ на $7$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{28}{\frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{81}}$

Этап 5.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81}{3248 + 448 \sqrt{7}})$

Этап 5.2.5

Умножим $\frac{81}{3248 + 448 \sqrt{7}}$ на $\frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{3248 - 448 \sqrt{7}}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81}{3248 + 448 \sqrt{7}} \cdot \frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{3248 - 448 \sqrt{7}})$

Этап 5.2.6

Умножим $\frac{81}{3248 + 448 \sqrt{7}}$ на $\frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{3248 - 448 \sqrt{7}}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{(3248 + 448 \sqrt{7}) (3248 - 448 \sqrt{7})})$

Этап 5.2.7

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{10549504 - 1455104 \sqrt{7} + 1455104 \sqrt{7} - 200704 {\sqrt{7}}^{2}})$

Этап 5.2.8

Упростим.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{9144576})$

Этап 5.2.9

Сократим общий множитель $28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Вынесем множитель $28$ из $9144576$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{28 (326592)})$

Этап 5.2.9.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{28 \cdot 326592})$

Этап 5.2.9.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{326592}$

Этап 5.2.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Вынесем множитель $81$ из $326592$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{81 \cdot 4032}$

Этап 5.2.10.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 - 448 \sqrt{7})}{81 \cdot 4032}$

Этап 5.2.10.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{4032}$

Этап 5.2.11

Сократим общий множитель $3248 - 448 \sqrt{7}$ и $4032$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.1

Вынесем множитель $112$ из $3248$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29) - 448 \sqrt{7}}{4032}$

Этап 5.2.11.2

Вынесем множитель $112$ из $- 448 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29) + 112 (- 4 \sqrt{7})}{4032}$

Этап 5.2.11.3

Вынесем множитель $112$ из $112 (29) + 112 (- 4 \sqrt{7})$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 - 4 \sqrt{7})}{4032}$

Этап 5.2.11.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.11.4.1

Вынесем множитель $112$ из $4032$ .

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 - 4 \sqrt{7})}{112 \cdot 36}$

Этап 5.2.11.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 - 4 \sqrt{7})}{112 \cdot 36}$

Этап 5.2.11.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 + 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}$

Этап 5.2.12

Окончательный ответ: $\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}$ .

$\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}$

Этап 6

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ в точке $x = \frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(1 - 2 \sqrt{7} - 1)}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(0 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.3

Вычтем $2 \sqrt{7}$ из $0$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(- 2 \sqrt{7})}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.4

Применим правило умножения к $- 2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{{(- 2)}^{2} {\sqrt{7}}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 {\sqrt{7}}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.6

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.6.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.6.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.1.6.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{({(\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{{(1 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{{(1 - 2 \sqrt{7})}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.3

Перепишем ${(1 - 2 \sqrt{7})}^{2}$ в виде $(1 - 2 \sqrt{7}) (1 - 2 \sqrt{7})$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{(1 - 2 \sqrt{7}) (1 - 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4

Развернем $(1 - 2 \sqrt{7}) (1 - 2 \sqrt{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 (1 - 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} (1 - 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} (1 - 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 \cdot 1 + 1 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} \cdot 1 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 + 1 (- 2 \sqrt{7}) - 2 \sqrt{7} \cdot 1 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.2

Умножим $- 2 \sqrt{7}$ на $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} \cdot 1 - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.4

Умножим $- 2 \sqrt{7} (- 2 \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1.4.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.4.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.4.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 {\sqrt{7}}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.5

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 4 \cdot 7}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.1.6

Умножим $4$ на $7$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{1 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 28}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.2

Добавим $1$ и $28$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.5.3

Вычтем $2 \sqrt{7}$ из $- 2 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 6.2.2.6

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9})}^{2}}$

Этап 6.2.2.7

Объединим $3$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7}}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Этап 6.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Этап 6.2.2.9

Перепишем $\frac{29 - 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 9}{9}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.9.1

Умножим $3$ на $9$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{29 - 4 \sqrt{7} + 27}{9})}^{2}}$

Этап 6.2.2.9.2

Добавим $29$ и $27$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{{(\frac{56 - 4 \sqrt{7}}{9})}^{2}}$

Этап 6.2.2.10

Применим правило умножения к $\frac{56 - 4 \sqrt{7}}{9}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{{(56 - 4 \sqrt{7})}^{2}}{9^{2}}}$

Этап 6.2.2.11

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{{(56 - 4 \sqrt{7})}^{2}}{81}}$

Этап 6.2.2.12

Перепишем ${(56 - 4 \sqrt{7})}^{2}$ в виде $(56 - 4 \sqrt{7}) (56 - 4 \sqrt{7})$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{(56 - 4 \sqrt{7}) (56 - 4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 6.2.2.13

Развернем $(56 - 4 \sqrt{7}) (56 - 4 \sqrt{7})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 (56 - 4 \sqrt{7}) - 4 \sqrt{7} (56 - 4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 6.2.2.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 \cdot 56 + 56 (- 4 \sqrt{7}) - 4 \sqrt{7} (56 - 4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 6.2.2.13.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{56 \cdot 56 + 56 (- 4 \sqrt{7}) - 4 \sqrt{7} \cdot 56 - 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 6.2.2.14

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.14.1.1

Умножим $56$ на $56$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 + 56 (- 4 \sqrt{7}) - 4 \sqrt{7} \cdot 56 - 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.2

Умножим $- 4$ на $56$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} \cdot 56 - 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.3

Умножим $56$ на $- 4$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.4

Умножим $- 4 \sqrt{7} (- 4 \sqrt{7})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.14.1.4.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \sqrt{7} \sqrt{7}}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.4.2

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.4.3

Возведем $\sqrt{7}$ в степень $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 (\sqrt{7} \sqrt{7})}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 {\sqrt{7}}^{2}}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.5

Перепишем ${\sqrt{7}}^{2}$ в виде $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.14.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7}$ в виде $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.14.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 16 \cdot 7}{81}}$

Этап 6.2.2.14.1.6

Умножим $16$ на $7$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3136 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7} + 112}{81}}$

Этап 6.2.2.14.2

Добавим $3136$ и $112$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3248 - 224 \sqrt{7} - 224 \sqrt{7}}{81}}$

Этап 6.2.2.14.3

Вычтем $224 \sqrt{7}$ из $- 224 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{4 \cdot 7}{\frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{81}}$

Этап 6.2.3

Умножим $4$ на $7$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{28}{\frac{3248 - 448 \sqrt{7}}{81}}$

Этап 6.2.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81}{3248 - 448 \sqrt{7}})$

Этап 6.2.5

Умножим $\frac{81}{3248 - 448 \sqrt{7}}$ на $\frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{3248 + 448 \sqrt{7}}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81}{3248 - 448 \sqrt{7}} \cdot \frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{3248 + 448 \sqrt{7}})$

Этап 6.2.6

Умножим $\frac{81}{3248 - 448 \sqrt{7}}$ на $\frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{3248 + 448 \sqrt{7}}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{(3248 - 448 \sqrt{7}) (3248 + 448 \sqrt{7})})$

Этап 6.2.7

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{10549504 + 1455104 \sqrt{7} - 1455104 \sqrt{7} - 200704 {\sqrt{7}}^{2}})$

Этап 6.2.8

Упростим.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{9144576})$

Этап 6.2.9

Сократим общий множитель $28$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1

Вынесем множитель $28$ из $9144576$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{28 (326592)})$

Этап 6.2.9.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = 28 (\frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{28 \cdot 326592})$

Этап 6.2.9.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{326592}$

Этап 6.2.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.10.1

Вынесем множитель $81$ из $326592$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{81 \cdot 4032}$

Этап 6.2.10.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{81 (3248 + 448 \sqrt{7})}{81 \cdot 4032}$

Этап 6.2.10.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{3248 + 448 \sqrt{7}}{4032}$

Этап 6.2.11

Сократим общий множитель $3248 + 448 \sqrt{7}$ и $4032$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.1

Вынесем множитель $112$ из $3248$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29) + 448 \sqrt{7}}{4032}$

Этап 6.2.11.2

Вынесем множитель $112$ из $448 \sqrt{7}$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29) + 112 (4 \sqrt{7})}{4032}$

Этап 6.2.11.3

Вынесем множитель $112$ из $112 (29) + 112 (4 \sqrt{7})$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 + 4 \sqrt{7})}{4032}$

Этап 6.2.11.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.11.4.1

Вынесем множитель $112$ из $4032$ .

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 + 4 \sqrt{7})}{112 \cdot 36}$

Этап 6.2.11.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{112 (29 + 4 \sqrt{7})}{112 \cdot 36}$

Этап 6.2.11.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1 - 2 \sqrt{7}}{3}) = \frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}$

Этап 6.2.12

Окончательный ответ: $\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}$ .

$\frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}$

Этап 7

Решим исходную функцию $f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ в точке $x = \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{{(3 (\frac{1}{3}) - 1)}^{2}}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{{(1 - 1)}^{2}}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.1.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0^{2}}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{({(\frac{1}{3})}^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1^{2}}{3^{2}} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1}{3^{2}} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1}{9} + 3)}^{2}}$

Этап 7.2.2.4

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1}{9} + 3 \cdot \frac{9}{9})}^{2}}$

Этап 7.2.2.5

Объединим $3$ и $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1}{9} + \frac{3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Этап 7.2.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1 + 3 \cdot 9}{9})}^{2}}$

Этап 7.2.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.7.1

Умножим $3$ на $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{1 + 27}{9})}^{2}}$

Этап 7.2.2.7.2

Добавим $1$ и $27$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{{(\frac{28}{9})}^{2}}$

Этап 7.2.2.8

Применим правило умножения к $\frac{28}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{\frac{28^{2}}{9^{2}}}$

Этап 7.2.2.9

Возведем $28$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{\frac{784}{9^{2}}}$

Этап 7.2.2.10

Возведем $9$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{0}{\frac{784}{81}}$

Этап 7.2.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{1}{3}) = 0 (\frac{81}{784})$

Этап 7.2.4

Умножим $0$ на $\frac{81}{784}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 0$

Этап 7.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 8

Горизонтальные касательные функции $f (x) = \frac{{(3 x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ ― $y = \frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}, y = \frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}, y = 0$ .

$y = \frac{29 - 4 \sqrt{7}}{36}, y = \frac{29 + 4 \sqrt{7}}{36}, y = 0$

Этап 9