Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 \sec (\frac{1}{4} π x - \frac{1}{2} π)$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$y = 7 \sec (\frac{1}{4} \cdot (π x) - \frac{1}{2} \cdot π)$

Этап 2

Избавимся от скобок.

$y = 7 \sec (\frac{1}{4} \cdot (π x) - \frac{1}{2} \cdot π)$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{4} (π x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $π$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = 7 \sec (\frac{π}{4} x - \frac{1}{2} \cdot π)$

Этап 3.1.2

Объединим $\frac{π}{4}$ и $x$ .

$y = 7 \sec (\frac{π x}{4} - \frac{1}{2} \cdot π)$

Этап 3.2

Объединим $π$ и $\frac{1}{2}$ .

$y = 7 \sec (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$

Этап 4

Вертикальные асимптоты функции $y = \sec (x)$ находятся в точках $x = \frac{π}{2} + n π$ , где $n$ — целое число. Используя основной период $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ для $y = s e c (x)$ , найдем вертикальные асимптоты для $y = 7 \sec (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ . Положив аргумент секанса, $b x + c$ , равным $- \frac{π}{2}$ в выражении $y = a \sec (b x + c) + d$ , найдем положение вертикальной асимптоты для $y = 7 \sec (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = - \frac{π}{2}$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{π x}{4} = - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 5.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π x}{4} = \frac{- π + π}{2}$

Этап 5.1.3

Добавим $- π$ и $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{0}{2}$

Этап 5.1.4

Разделим $0$ на $2$ .

$\frac{π x}{4} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$π x = 0$

Этап 5.3

Разделим каждый член $π x = 0$ на $π$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $π x = 0$ на $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{π}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $0$ на $π$ .

$x = 0$

Этап 6

Выражение внутри секанса $\frac{π x}{4} - \frac{π}{2}$ приравняем $\frac{3 π}{2}$ .

$\frac{π x}{4} - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Добавим $\frac{π}{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{π x}{4} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2}$

Этап 7.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π x}{4} = \frac{3 π + π}{2}$

Этап 7.1.3

Добавим $3 π$ и $π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{4 π}{2}$

Этап 7.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4 π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{2 (2 π)}{2}$

Этап 7.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{2 (2 π)}{2 (1)}$

Этап 7.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{π x}{4} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π x}{4} = \frac{2 π}{1}$

Этап 7.1.4.2.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$\frac{π x}{4} = 2 π$

Этап 7.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (2 π)$

Этап 7.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Упростим $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (2 π)$

Этап 7.3.1.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (2 π)$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $π$ из $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (2 π)$

Этап 7.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (2 π)$

Этап 7.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{4}{π} (2 π)$

Этап 7.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Упростим $\frac{4}{π} (2 π)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1.1.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Этап 7.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4}{π} (π \cdot 2)$

Этап 7.3.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$x = 4 \cdot 2$

Этап 7.3.2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$x = 8$

Этап 8

Основной период $y = 7 \sec (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ находится на промежутке $(0, 8)$ , где $0$ и $8$ являются вертикальными асимптотами.

$(0, 8)$

Этап 9

Найдем период $\frac{2 π}{| b |}$ , чтобы узнать, где существуют вертикальные асимптоты. Вертикальные асимптоты встречаются каждую половину периода.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

$\frac{π}{4}$ приблизительно равно $0.78539816$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Этап 9.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \frac{4}{π}$

Этап 9.3

Сократим общий множитель $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $π$ из $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Этап 9.3.3

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 4$

Этап 9.4

Умножим $2$ на $4$ .

$8$

Этап 10

Вертикальные асимптоты $y = 7 \sec (\frac{π x}{4} - \frac{π}{2})$ находятся в $0$ , $8$ и в каждой точке $x = 0 + 4 n$ , где $n$ — целое число. Это половина периода.

$x = 0 + 4 n$

Этап 11

У секанса есть только вертикальные асимптоты.

Нет горизонтальных асимптот

Нет наклонных асимптот

Вертикальные асимптоты: $x = 0 + 4 n$ , где $n$ — целое число

Этап 12