Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\tan (x)}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} e^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.1.2

Внесем предел под знак экспоненты.

$\frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.1.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{e^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{e^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{e^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.3.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Этап 1.3.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} - 1}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $e^{2 x} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.3.5

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x} + 0}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.5

Добавим $2 e^{2 x}$ и $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Этап 3.6

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 e^{2 x}}{\sec^{2} (x)}$

Этап 4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{e^{2 x}}{\sec^{2} (x)}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} e^{2 x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 6

Внесем предел под знак экспоненты.

$2 \frac{e^{lim_{x \to 0} 2 x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 7

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Этап 8

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Этап 9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$2 \frac{e^{2 lim_{x \to 0} x}}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 10

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{e^{2 \cdot 0}}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Этап 10.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{e^{2 \cdot 0}}{\sec^{2} (0)}$

Этап 11

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$2 \frac{e^{0}}{\sec^{2} (0)}$

Этап 11.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$2 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Этап 11.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$2 \frac{1}{1^{2}}$

Этап 11.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$2 (\frac{1}{1})$

Этап 11.3

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{1})$

Этап 11.3.2

Перепишем это выражение.

$2 \cdot 1$

Этап 11.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$