Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 x^{2} + 10 x - 1}{8 x^{2} - 5 x}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - \infty} 9 x^{2} + 10 x - 1}{lim_{x \to - \infty} 8 x^{2} - 5 x}$

Этап 1.2

Для многочлена четной степени, старший коэффициент которого положителен, предел в минус бесконечности равен бесконечности.

$\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} 8 x^{2} - 5 x}$

Этап 1.3

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$\frac{\infty}{\infty}$

Этап 2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 x^{2} + 10 x - 1}{8 x^{2} - 5 x} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 10 x - 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2} + 10 x - 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $9 x^{2} + 10 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{9 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $9$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Этап 3.4.3

Умножим $10$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10 + 0}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Этап 3.6

Добавим $18 x + 10$ и $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{\frac{d}{d x} [8 x^{2} - 5 x]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $8 x^{2} - 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Этап 3.8

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{2}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Этап 3.8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Этап 3.8.3

Умножим $2$ на $8$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Этап 3.9

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5 \cdot 1}$

Этап 3.9.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 x + 10}{16 x - 5}$

Этап 4

Разделим числитель и знаменатель на $x$ в наибольшей степени в знаменателе, т. е. $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{18 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Этап 5

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{18 x}{x} + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Этап 5.1.2

Разделим $18$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{\frac{16 x}{x} + \frac{- 5}{x}}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $16$ на $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{16 + \frac{- 5}{x}}$

Этап 5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{x \to - \infty} \frac{18 + \frac{10}{x}}{16 - \frac{5}{x}}$

Этап 5.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 18 + \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Этап 5.4

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 18 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Этап 5.5

Найдем предел $18$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{18 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Этап 5.6

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{18 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Этап 6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{x}$ стремится к $0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 16 - \frac{5}{x}}$

Этап 7

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \infty$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Этап 7.2

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \infty$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - lim_{x \to - \infty} \frac{5}{x}}$

Этап 7.3

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - 5 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Этап 8

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{16 - 5 \cdot 0}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $18 + 10 \cdot 0$ и $16 - 5 \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $16$ в виде $- 1 (- 16)$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16) - 5 \cdot 0}$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 \cdot 0$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16) - (5 \cdot 0)}$

Этап 9.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- 16) - (5 \cdot 0)$ .

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 5 \cdot 0)}$

Этап 9.1.4

Изменим порядок членов.

$\frac{18 + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Этап 9.1.5

Вынесем множитель $2$ из $18$ .

$\frac{2 (9) + 10 \cdot 0}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Этап 9.1.6

Вынесем множитель $2$ из $10 \cdot 0$ .

$\frac{2 (9) + 2 (5 \cdot 0)}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Этап 9.1.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (9) + 2 (5 \cdot 0)$ .

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)}$

Этап 9.1.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 1 (- 16 + 0 \cdot 5)$ .

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{2 (- 1 (- 8 + 0 \cdot 5))}$

Этап 9.1.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (9 + 5 \cdot 0)}{2 (- 1 (- 8 + 0 \cdot 5))}$

Этап 9.1.8.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 + 5 \cdot 0}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{9 + 0}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Этап 9.2.2

Добавим $9$ и $0$ .

$\frac{9}{- 1 (- 8 + 0 \cdot 5)}$

Этап 9.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $0$ на $5$ .

$\frac{9}{- 1 (- 8 + 0)}$

Этап 9.3.2

Добавим $- 8$ и $0$ .

$\frac{9}{- 1 \cdot - 8}$

Этап 9.4

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{9}{8}$