Математический анализ Примеры

$\frac{1}{x^{2} + x^{4}}$

Этап 1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} + x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot 1 + x^{4}}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2}}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} \cdot 1 + x^{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} \cdot (1 + x^{2})}$

Этап 1.1.4

Умножим $x^{2}$ на $1 + x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} (1 + x^{2})}$

Этап 1.2

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку у множителя 2-й порядок, в числителе должно быть $2$ членов. Количество необходимых членов в числителе всегда равно порядку множителя в знаменателе.

$\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{1 + x^{2}}$

Этап 1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $x^{2} (1 + x^{2})$ .

$\frac{1 (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2} (1 + x^{2})} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2} (1 + x^{2})} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (x^{2} (1 + x^{2}))}{x^{2}} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.1.2

Разделим $A (1 + x^{2})$ на $1$ .

$1 = A (1 + x^{2}) + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A x^{2} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{B (x^{2} (1 + x^{2}))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Вынесем множитель $x$ из $B (x^{2} (1 + x^{2}))$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.4.2.3

Сократим общий множитель.

$1 = A + A x^{2} + \frac{x (B (x (1 + x^{2})))}{x \cdot 1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.4.2.4

Перепишем это выражение.

$1 = A + A x^{2} + \frac{B (x (1 + x^{2}))}{1} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.4.2.5

Разделим $B (x (1 + x^{2}))$ на $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x (1 + x^{2})) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A + A x^{2} + B (x \cdot 1 + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.6

Умножим $x$ на $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.7.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x \cdot x^{2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.7.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = A + A x^{2} + B (x + x^{1 + 2}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.7.2

Добавим $1$ и $2$ .

$1 = A + A x^{2} + B (x + x^{3}) + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.8

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.9

Сократим общий множитель $1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.9.1

Сократим общий множитель.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + \frac{(C x + D) (x^{2} (1 + x^{2}))}{1 + x^{2}}$

Этап 1.6.9.2

Разделим $(C x + D) (x^{2})$ на $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + (C x + D) (x^{2})$

Этап 1.6.10

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x \cdot x^{2} + D x^{2}$

Этап 1.6.11

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.11.1

Перенесем $x^{2}$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Этап 1.6.11.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.11.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C (x^{2} x) + D x^{2}$

Этап 1.6.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{2 + 1} + D x^{2}$

Этап 1.6.11.3

Добавим $2$ и $1$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2}$

Этап 1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Изменим порядок $B$ и $x^{3}$ .

$1 = A + A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2}$

Этап 1.7.2

Перенесем $A$ .

$1 = A x^{2} + B x + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + A$

Этап 1.7.3

Перенесем $B x$ .

$1 = A x^{2} + B x^{3} + C x^{3} + D x^{2} + B x + A$

Этап 1.7.4

Перенесем $A x^{2}$ .

$1 = B x^{3} + C x^{3} + A x^{2} + D x^{2} + B x + A$

Этап 2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{3}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B + C$

Этап 2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x^{2}$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = A + D$

Этап 2.3

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = B$

Этап 2.4

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A$

Этап 2.5

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = B$

$1 = A$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$0 = B$

$1 = A$

Этап 3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $B = 0$ .

$B = 0$

$0 = B + C$

$0 = A + D$

$1 = A$

Этап 3.2

Заменим все вхождения $B$ на $0$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Заменим все вхождения $B$ в $0 = B + C$ на $0$ .

$0 = (0) + C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Добавим $0$ и $C$ .

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$1 = A$

Этап 3.2.3

Перепишем уравнение в виде $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

$A = 1$

$0 = C$

$B = 0$

$0 = A + D$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $A$ на $1$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $C = 0$ .

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = A + D$

Этап 3.3.2

Заменим все вхождения $A$ в $0 = A + D$ на $1$ .

$0 = (1) + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Избавимся от скобок.

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$0 = 1 + D$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Этап 3.4

Решим относительно $D$ в $0 = 1 + D$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $1 + D = 0$ .

$1 + D = 0$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Этап 3.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$D = - 1$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

$D = - 1$

$C = 0$

$A = 1$

$B = 0$

Этап 3.5

Решим систему уравнений.

$D = - 1 C = 0 A = 1 B = 0$

Этап 3.6

Перечислим все решения.

$D = - 1, C = 0, A = 1, B = 0$

Этап 4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{x^{2}} + \frac{B}{x} + \frac{C x + D}{1 + x^{2}}$ значениями, найденными для $A$ , $B$ , $C$ и $D$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 x - 1}{1 + x^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{0 - 1}{1 + x^{2}}$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{0}{x} + \frac{- 1}{1 + x^{2}}$