Математический анализ Примеры

$f (x) = (5 + 4 x) e^{- 5 x}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 5 + 4 x$ и $g (x) = e^{- 5 x}$ .

$(5 + 4 x) \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 5 x$ .

$(5 + 4 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(5 + 4 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x$ .

$(5 + 4 x) (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Этап 1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$(5 + 4 x) e^{- 5 x} \cdot - 5 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Этап 1.3.3.2

Перенесем $- 5$ влево от $(5 + 4 x) e^{- 5 x}$ .

$- 5 \cdot ((5 + 4 x) e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [5 + 4 x]$

Этап 1.3.4

По правилу суммы производная $5 + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 1.3.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (0 + \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 1.3.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 1.3.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} (4 \cdot 1)$

Этап 1.3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.9.1

Умножим $4$ на $1$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + e^{- 5 x} \cdot 4$

Этап 1.3.9.2

Перенесем $4$ влево от $e^{- 5 x}$ .

$- 5 (5 + 4 x) e^{- 5 x} + 4 \cdot e^{- 5 x}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 5 \cdot 5 - 5 (4 x)) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 5 \cdot 5 e^{- 5 x} - 5 (4 x) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

Этап 1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $- 5$ на $5$ .

$- 25 e^{- 5 x} - 5 (4 x) e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

Этап 1.4.3.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$- 25 e^{- 5 x} - 20 x e^{- 5 x} + 4 e^{- 5 x}$

Этап 1.4.3.3

Добавим $- 25 e^{- 5 x}$ и $4 e^{- 5 x}$ .

$- 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$

Этап 1.4.4

Изменим порядок членов.

$- 20 e^{- 5 x} x - 21 e^{- 5 x}$

Этап 1.4.5

Изменим порядок множителей в $- 20 e^{- 5 x} x - 21 e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = - 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 20 x e^{- 5 x} - 21 e^{- 5 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x e^{- 5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x e^{- 5 x}$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x e^{- 5 x}]$ .

$- 20 \frac{d}{d x} [x e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Этап 2.2.2

$- 20 (x \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- 5 x$ .

$- 20 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 20 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 5 x$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Этап 2.2.7

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 20 (x (e^{- 5 x} \cdot - 5) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Этап 2.2.8

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- 5 x}$ .

$- 20 (x (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + e^{- 5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Этап 2.2.9

Умножим $e^{- 5 x}$ на $1$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) + \frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 21 e^{- 5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 21$ является константой относительно $x$ , производная $- 21 e^{- 5 x}$ по $x$ равна $- 21 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 5 x$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 5 x$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Этап 2.3.6

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- 5 x}$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) - 21 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Этап 2.3.7

Умножим $- 5$ на $- 21$ .

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x}) + e^{- 5 x}) + 105 e^{- 5 x}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 20 (x (- 5 e^{- 5 x})) - 20 e^{- 5 x} + 105 e^{- 5 x}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $- 5$ на $- 20$ .

$100 (x (e^{- 5 x})) - 20 e^{- 5 x} + 105 e^{- 5 x}$

Этап 2.4.2.2

Добавим $- 20 e^{- 5 x}$ и $105 e^{- 5 x}$ .

$100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$100 e^{- 5 x} x + 85 e^{- 5 x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $100 e^{- 5 x} x + 85 e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = 100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$ .

$100 x e^{- 5 x} + 85 e^{- 5 x}$