Математический анализ Примеры

$g (t) = \frac{7}{8 t^{6}}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{7}{8}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{7}{8 t^{6}}$ по $t$ равна $\frac{7}{8} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{6}}]$ .

$\frac{7}{8} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{6}}]$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $\frac{1}{t^{6}}$ в виде ${(t^{6})}^{- 1}$ .

$\frac{7}{8} \frac{d}{d t} [{(t^{6})}^{- 1}]$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{6})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{8} \frac{d}{d t} [t^{6 \cdot - 1}]$

Этап 1.2.2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\frac{7}{8} \frac{d}{d t} [t^{- 6}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = - 6$ .

$\frac{7}{8} (- 6 t^{- 7})$

Этап 1.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $- 6$ и $\frac{7}{8}$ .

$\frac{- 6 \cdot 7}{8} t^{- 7}$

Этап 1.4.2

Умножим $- 6$ на $7$ .

$\frac{- 42}{8} t^{- 7}$

Этап 1.4.3

Объединим $\frac{- 42}{8}$ и $t^{- 7}$ .

$\frac{- 42 t^{- 7}}{8}$

Этап 1.4.4

Перенесем $t^{- 7}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 42}{8 t^{7}}$

Этап 1.4.5

Сократим общий множитель $- 42$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 42$ .

$\frac{2 (- 21)}{8 t^{7}}$

Этап 1.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8 t^{7}$ .

$\frac{2 (- 21)}{2 (4 t^{7})}$

Этап 1.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 21}{2 (4 t^{7})}$

Этап 1.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 21}{4 t^{7}}$

Этап 1.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (t) = - \frac{21}{4 t^{7}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{21}{4}$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{21}{4 t^{7}}$ по $t$ равна $- \frac{21}{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{7}}]$ .

$- \frac{21}{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{7}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{t^{7}}$ в виде ${(t^{7})}^{- 1}$ .

$- \frac{21}{4} \frac{d}{d t} [{(t^{7})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(t^{7})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{21}{4} \frac{d}{d t} [t^{7 \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$- \frac{21}{4} \frac{d}{d t} [t^{- 7}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = - 7$ .

$- \frac{21}{4} (- 7 t^{- 8})$

Этап 2.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $- 7$ на $- 1$ .

$7 (\frac{21}{4}) t^{- 8}$

Этап 2.4.2

Объединим $7$ и $\frac{21}{4}$ .

$\frac{7 \cdot 21}{4} t^{- 8}$

Этап 2.4.3

Умножим $7$ на $21$ .

$\frac{147}{4} t^{- 8}$

Этап 2.4.4

Объединим $\frac{147}{4}$ и $t^{- 8}$ .

$\frac{147 t^{- 8}}{4}$

Этап 2.4.5

Перенесем $t^{- 8}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (t) = \frac{147}{4 t^{8}}$

Этап 3

Вторая производная $g (t)$ по $t$ равна $\frac{147}{4 t^{8}}$ .

$\frac{147}{4 t^{8}}$