Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{- 2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{- 2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$5 (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.3

Умножим $- 2$ на $5$ .

$- 10 x^{- 3}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.4.2

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 10}{x^{3}}$

Этап 1.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{10}{x^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{10}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$- 10 (- 3 x^{- 4})$

Этап 2.4

Умножим $- 3$ на $- 10$ .

$30 x^{- 4}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$30 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 2.5.2

Объединим $30$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{30}{x^{4}}$

Этап 3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{30}{x^{4}}$ .

$\frac{30}{x^{4}}$