Математический анализ Примеры

$f (u) = \frac{u}{u^{2} + 6}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ имеет вид $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ , где $f (u) = u$ и $g (u) = u^{2} + 6$ .

$\frac{(u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u] - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(u^{2} + 6) \cdot 1 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Умножим $u^{2} + 6$ на $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u \frac{d}{d u} [u^{2} + 6]}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2.3

По правилу суммы производная $u^{2} + 6$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6])}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u + \frac{d}{d u} [6])}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $6$ является константой относительно $u$ , производная $6$ относительно $u$ равна $0$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u + 0)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $2 u$ и $0$ .

$\frac{u^{2} + 6 - u (2 u)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u \cdot u}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.3

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 (u^{1} u)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 (u^{1} u^{1})}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u^{1 + 1}}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{u^{2} + 6 - 2 u^{2}}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.7

Вычтем $2 u^{2}$ из $u^{2}$ .

$\frac{- u^{2} + 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$\frac{- (u^{2}) + 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.8.2

Перепишем $6$ в виде $- 1 (- 6)$ .

$\frac{- (u^{2}) - 1 (- 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.8.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2}) - 1 (- 6)$ .

$\frac{- (u^{2} - 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.8.4

Перепишем $- (u^{2} - 6)$ в виде $- 1 (u^{2} - 6)$ .

$\frac{- 1 (u^{2} - 6)}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 1.8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (u) = - \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ имеет вид $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ , где $f (u) = - 1$ и $g (u) = \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d u} [\frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}] + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.2

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{({(u^{2} + 6)}^{2})}^{2}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(u^{2} + 6)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d u} [u^{2} - 6] - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $u^{2} - 6$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [- 6]) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u + \frac{d}{d u} [- 6]) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $u$ , производная $- 6$ относительно $u$ равна $0$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u + 0) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Добавим $2 u$ и $0$ .

$- \frac{{(u^{2} + 6)}^{2} (2 u) - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.3.5.2

Перенесем $2$ влево от ${(u^{2} + 6)}^{2}$ .

$- \frac{2 \cdot {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) \frac{d}{d u} [{(u^{2} + 6)}^{2}]}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ имеет вид $f' (g (u)) g' (u)$ , где $f (u) = u^{2}$ и $g (u) = u^{2} + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (2 u_{1} \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - (u^{2} - 6) (2 (u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) \frac{d}{d u} [u^{2} + 6])}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.5.2

По правилу суммы производная $u^{2} + 6$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [6]))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u + \frac{d}{d u} [6]))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.5.4

Поскольку $6$ является константой относительно $u$ , производная $6$ относительно $u$ равна $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u + 0))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Добавим $2 u$ и $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) (2 u))}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.5.5.2

Перенесем $2$ влево от $u^{2} + 6$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 2 (u^{2} - 6) (2 \cdot (u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.5.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \frac{d}{d u} [- 1]$

Этап 2.5.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u$ , производная $- 1$ относительно $u$ равна $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + \frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}} \cdot 0$

Этап 2.5.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Умножим $\frac{u^{2} - 6}{{(u^{2} + 6)}^{2}}$ на $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}} + 0$

Этап 2.5.7.2

Добавим $- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$ и $0$ .

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u - 4 (u^{2} - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) ((u^{2} + 6) u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 {(u^{2} + 6)}^{2} u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.1

Перепишем ${(u^{2} + 6)}^{2}$ в виде $(u^{2} + 6) (u^{2} + 6)$ .

$- \frac{2 ((u^{2} + 6) (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.2

Развернем $(u^{2} + 6) (u^{2} + 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (u^{2} (u^{2} + 6) + 6 (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (u^{2} u^{2} + u^{2} \cdot 6 + 6 (u^{2} + 6)) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 (u^{2} u^{2} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.3.1.1

Умножим $u^{2}$ на $u^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 (u^{2 + 2} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$- \frac{2 (u^{4} + u^{2} \cdot 6 + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.1.2

Перенесем $6$ влево от $u^{2}$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 6 \cdot u^{2} + 6 u^{2} + 6 \cdot 6) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 6 u^{2} + 6 u^{2} + 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.2

Добавим $6 u^{2}$ и $6 u^{2}$ .

$- \frac{2 (u^{4} + 12 u^{2} + 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(2 u^{4} + 2 (12 u^{2}) + 2 \cdot 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.5.1

Умножим $12$ на $2$ .

$- \frac{(2 u^{4} + 24 u^{2} + 2 \cdot 36) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.5.2

Умножим $2$ на $36$ .

$- \frac{(2 u^{4} + 24 u^{2} + 72) u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 u^{4} u + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.1

Умножим $u^{4}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.1.1

Перенесем $u$ .

$- \frac{2 (u \cdot u^{4}) + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.1.2

Умножим $u$ на $u^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.1.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- \frac{2 (u^{1} u^{4}) + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 u^{1 + 4} + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{2} u + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.2

Умножим $u^{2}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.2.1

Перенесем $u$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 (u \cdot u^{2}) + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.2.2

Умножим $u$ на $u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.7.2.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 (u^{1} u^{2}) + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{1 + 2} + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} - 4 \cdot - 6) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.8

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2} u + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.9

Умножим $u^{2}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.9.1

Умножим $u^{2}$ на $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.9.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2} u^{1} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.9.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{2 + 1} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.9.2

Добавим $2$ и $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + (- 4 u^{2} + 24) (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.10

Развернем $(- 4 u^{2} + 24) (u^{3} + 6 u)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} (u^{3} + 6 u) + 24 (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} u^{3} - 4 u^{2} (6 u) + 24 (u^{3} + 6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{2} u^{3} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.11.1.1

Умножим $u^{2}$ на $u^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.11.1.1.1

Перенесем $u^{3}$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 (u^{3} u^{2}) - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{3 + 2} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 u^{2} (6 u) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{2} u + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.3

Умножим $u^{2}$ на $u$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.11.1.3.1

Перенесем $u$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 (u \cdot u^{2}) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.3.2

Умножим $u$ на $u^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.11.1.3.2.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 (u^{1} u^{2}) + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{1 + 2} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 4 \cdot 6 u^{3} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.4

Умножим $- 4$ на $6$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 24 u^{3} + 24 u^{3} + 24 (6 u)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.1.5

Умножим $6$ на $24$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} - 24 u^{3} + 24 u^{3} + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.2

Добавим $- 24 u^{3}$ и $24 u^{3}$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} + 0 + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.3

Добавим $- 4 u^{5}$ и $0$ .

$- \frac{2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u - 4 u^{5} + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.2

Вычтем $4 u^{5}$ из $2 u^{5}$ .

$- \frac{- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 72 u + 144 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.3.3

Добавим $72 u$ и $144 u$ .

$- \frac{- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Вынесем множитель $2 u$ из $- 2 u^{5} + 24 u^{3} + 216 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.1

Вынесем множитель $2 u$ из $- 2 u^{5}$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 24 u^{3} + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.2

Вынесем множитель $2 u$ из $24 u^{3}$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2}) + 216 u}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3

Вынесем множитель $2 u$ из $216 u$ .

$- \frac{2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2}) + 2 u (108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.4

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u (- u^{4}) + 2 u (12 u^{2})$ .

$- \frac{2 u (- u^{4} + 12 u^{2}) + 2 u (108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.5

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u (- u^{4} + 12 u^{2}) + 2 u (108)$ .

$- \frac{2 u (- u^{4} + 12 u^{2} + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.2

Перепишем $u^{4}$ в виде ${(u^{2})}^{2}$ .

$- \frac{2 u (- {(u^{2})}^{2} + 12 u^{2} + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.3

Пусть $u = u^{2}$ . Подставим $u$ вместо $u^{2}$ для всех.

$- \frac{2 u (- u^{2} + 12 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 108 = - 108$ , а сумма — $b = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.4.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 u$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} + 12 (u) + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4.1.2

Запишем $12$ как $- 6$ плюс $18$

$- \frac{2 u (- u^{2} + (- 6 + 18) u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2 u (- u^{2} - 6 u + 18 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- \frac{2 u ((- u^{2} - 6 u) + 18 u + 108)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- \frac{2 u (u (- u - 6) - 18 (- u - 6))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u - 6$ .

$- \frac{2 u ((- u - 6) (u - 18))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- u^{2} - 6) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.5

Сократим общий множитель $- u^{2} - 6$ и ${(u^{2} + 6)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u^{2}$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2}) - 6) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.5.2

Перепишем $- 6$ в виде $- 1 (6)$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2}) - 1 (6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (u^{2}) - 1 (6)$ .

$- \frac{2 u (- (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.5.4

Перепишем $- (u^{2} + 6)$ в виде $- 1 (u^{2} + 6)$ .

$- \frac{2 u (- 1 (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.5.5

Вынесем множитель $u^{2} + 6$ из $2 u (- 1 (u^{2} + 6)) (u^{2} - 18)$ .

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{{(u^{2} + 6)}^{4}}$

Этап 2.6.5.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.6.1

Вынесем множитель $u^{2} + 6$ из ${(u^{2} + 6)}^{4}$ .

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{(u^{2} + 6) {(u^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.6.5.6.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{(u^{2} + 6) (2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18))}{(u^{2} + 6) {(u^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.6.5.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{2 u \cdot (- 1) (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.6.6

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{- 2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.6.8

Умножим $- - \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 2.6.8.2

Умножим $\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ на $1$ .

$f'' (u) = \frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$

Этап 3

Вторая производная $f (u)$ по $u$ равна $\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$ .

$\frac{2 u (u^{2} - 18)}{{(u^{2} + 6)}^{3}}$