Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2} x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} - \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Этап 1.1.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + \frac{- 2}{2} x$

Этап 1.1.3.5

Объединим $\frac{- 2}{2}$ и $x$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x}{2}$

Этап 1.1.3.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$x^{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

Этап 1.1.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x^{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Этап 1.1.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} + \frac{- x}{1}$

Этап 1.1.3.6.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$f' (x) = x^{3} - x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 1.2.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 1$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 1 = 0$

Этап 2.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 1$

Этап 2.3

Разделим каждый член $3 x^{2} = 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 1$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{1}{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{3}$

Этап 2.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

Этап 2.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Этап 2.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 2.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $\frac{\sqrt{3}}{3}$ в $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Объединим.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 {\sqrt{3}}^{4}}{4 \cdot 3^{4}} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Умножим ${\sqrt{3}}^{4}$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{4 \cdot 3^{4}} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.4

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.5.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.6

Умножим $4$ на $81$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{324} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.7

Сократим общий множитель $9$ и $324$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{324} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.7.2.1

Вынесем множитель $9$ из $324$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 36} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 36} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.1.2.1.8

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Этап 3.1.2.1.9

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

Этап 3.1.2.1.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

Этап 3.1.2.1.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Этап 3.1.2.1.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.9.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Этап 3.1.2.1.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3^{2}}$

Этап 3.1.2.1.9.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3^{2}}$

Этап 3.1.2.1.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{9}$

Этап 3.1.2.1.11

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.11.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (1)}{9}$

Этап 3.1.2.1.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.11.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Этап 3.1.2.1.11.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Этап 3.1.2.1.11.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.1.2.1.12

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.12.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{3 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.1.12.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{6}$

Этап 3.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 3.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{6}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{6}{6 \cdot 6}$

Этап 3.1.2.3.2

Умножим $6$ на $6$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{6}{36}$

Этап 3.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6}{36}$

Этап 3.1.2.5

Вычтем $6$ из $1$ .

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5}{36}$

Этап 3.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{5}{36}$

Этап 3.1.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{5}{36}$ .

$- \frac{5}{36}$

Этап 3.2

Подставляя $\frac{\sqrt{3}}{3}$ в $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ , найдем точку $(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$

Этап 3.3

Подставим $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{4}) - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot ({(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot (1 (\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}})) - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Умножим $\frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{3^{4}} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4

Объединим.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 {\sqrt{3}}^{4}}{4 \cdot 3^{4}} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.5

Умножим ${\sqrt{3}}^{4}$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{4 \cdot 3^{4}} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.6

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{4}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.7.1

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.7.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.7.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.7.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{4}{2}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.7.1.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.7.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.7.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.7.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.7.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.7.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{\frac{2}{1}}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.7.1.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{3^{2}}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.7.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{4 \cdot 81} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.8

Умножим $4$ на $81$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9}{324} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.9

Сократим общий множитель $9$ и $324$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.9.1

Вынесем множитель $9$ из $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 (1)}{324} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.9.2.1

Вынесем множитель $9$ из $324$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 36} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.9.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 36} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.9.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot {(- \frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}$

Этап 3.3.2.1.10

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.10.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2})$

Этап 3.3.2.1.10.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}))$

Этап 3.3.2.1.11

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.11.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Этап 3.3.2.1.11.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.11.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1}{2})) \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Этап 3.3.2.1.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Этап 3.3.2.1.11.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}$

Этап 3.3.2.1.12

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.12.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}$

Этап 3.3.2.1.12.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}$

Этап 3.3.2.1.12.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Этап 3.3.2.1.12.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.12.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}$

Этап 3.3.2.1.12.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{3^{2}}$

Этап 3.3.2.1.12.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{3^{2}}$

Этап 3.3.2.1.13

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2}) \cdot \frac{3}{9}$

Этап 3.3.2.1.14

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{9}$

Этап 3.3.2.1.15

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.15.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 (1)}{9}$

Этап 3.3.2.1.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.15.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.1.15.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}$

Этап 3.3.2.1.15.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 3.3.2.1.16

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.16.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{3 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.1.16.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{6}$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{6}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{1}{6} \cdot \frac{6}{6}$

Этап 3.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $36$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Умножим $\frac{1}{6}$ на $\frac{6}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{6}{6 \cdot 6}$

Этап 3.3.2.3.2

Умножим $6$ на $6$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1}{36} - \frac{6}{36}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{1 - 6}{36}$

Этап 3.3.2.5

Вычтем $6$ из $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5}{36}$

Этап 3.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{\sqrt{3}}{3}) = - \frac{5}{36}$

Этап 3.3.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{5}{36}$ .

$- \frac{5}{36}$

Этап 3.4

Подставляя $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ в $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ , найдем точку $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36}), (- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.67735026$ .

$f'' (- 0.67735026) = 3 {(- 0.67735026)}^{2} - 1$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 0.67735026$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.67735026) = 3 \cdot 0.45880338 - 1$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $0.45880338$ .

$f'' (- 0.67735026) = 1.37641016 - 1$

Этап 5.2.2

Вычтем $1$ из $1.37641016$ .

$f'' (- 0.67735026) = 0.37641016$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $0.37641016$ .

$0.37641016$

Этап 5.3

При $- 0.67735026$ вторая производная имеет вид $0.37641016$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Возрастание в области $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = 3 {(0)}^{2} - 1$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = 3 \cdot 0 - 1$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f'' (0) = 0 - 1$

Этап 6.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$f'' (0) = - 1$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 6.3

При $0$ вторая производная имеет вид $- 1$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

Убывание на $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.67735026$ .

$f'' (0.67735026) = 3 {(0.67735026)}^{2} - 1$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.67735026$ в степень $2$ .

$f'' (0.67735026) = 3 \cdot 0.45880338 - 1$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $0.45880338$ .

$f'' (0.67735026) = 1.37641016 - 1$

Этап 7.2.2

Вычтем $1$ из $1.37641016$ .

$f'' (0.67735026) = 0.37641016$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.37641016$ .

$0.37641016$

Этап 7.3

При $0.67735026$ вторая производная имеет вид $0.37641016$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$ .

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{5}{36})$

Этап 9