Математический анализ Примеры

$7 e^{x} + x$ , $(0, 7)$

Этап 1

Запишем $7 e^{x} + x$ в виде уравнения.

$y = 7 e^{x} + x$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 0$ и $y = 7$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $7 e^{x} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [7 e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 e^{x}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$7 e^{x} + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 e^{x} + 1$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 0$ .

$7 e^{0} + 1$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$7 \cdot 1 + 1$

Этап 2.5.1.2

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $7$ и $1$ .

$8$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $8$ и координаты заданной точки $(0, 7)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7) = 8 \cdot (x - (0))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 7 = 8 \cdot (x + 0)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $x$ и $0$ .

$y - 7 = 8 x$

Этап 3.3.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$y = 8 x + 7$

Этап 4