Математический анализ Примеры

$f (t) = e^{\sin (t)} \cos (t)$ , $[0, \frac{π}{2}]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${t | t \in ℝ}$

Этап 2

$f (t)$ — непрерывное выражение в области $[0, \frac{π}{2}]$ .

$f (t)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\sin (t)} \cos (t) d t)$

Этап 5

Пусть $u = \sin (t)$ . Тогда $d u = \cos (t) d t$ , следовательно $\frac{1}{\cos (t)} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = \sin (t)$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $\sin (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\sin (t)]$

Этап 5.1.2

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$\cos (t)$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = \sin (t)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Этап 5.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = \sin (t)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Этап 5.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$u_{upper} = 1$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (\int_{0}^{1} e^{u} d u)$

Этап 6

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e^{u}]_{0}^{1})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $e^{u}$ в $1$ и в $0$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} ((e) - e^{0})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим.

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - e^{0})$

Этап 7.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1 \cdot 1)$

Этап 7.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} - 0} (e - 1)$

Этап 8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2} + 0} \cdot (e - 1)$

Этап 8.2

Добавим $\frac{π}{2}$ и $0$ .

$A (t) = \frac{1}{\frac{π}{2}} \cdot (e - 1)$

Этап 9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$A (t) = 1 (\frac{2}{π}) \cdot (e - 1)$

Этап 10

Умножим $\frac{2}{π}$ на $1$ .

$A (t) = \frac{2}{π} \cdot (e - 1)$

Этап 11

Применим свойство дистрибутивности.

$A (t) = \frac{2}{π} \cdot e + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Этап 12

Объединим $\frac{2}{π}$ и $e$ .

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{2}{π} \cdot - 1$

Этап 13

Умножим $\frac{2}{π} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{2}{π}$ и $- 1$ .

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{2 \cdot - 1}{π}$

Этап 13.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$A (t) = \frac{2 e}{π} + \frac{- 2}{π}$

Этап 14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$A (t) = \frac{2 e}{π} - \frac{2}{π}$

Этап 15