Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt[3]{x}$ ; $[1, 8]$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

$f (x)$ — непрерывное выражение в области $[1, 8]$ .

$f (x)$ — непрерывное выражение

Этап 3

Среднее значение функции $f$ на интервале $[a, b]$ определяется как $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Этап 4

Подставим фактические значения в формулу для среднего значения функции.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} \sqrt[3]{x} d x)$

Этап 5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8})$

Этап 7

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Найдем значение $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ в $8$ и в $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.3.2

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.4

Возведем $2$ в степень $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.5

Объединим $\frac{3}{4}$ и $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.6

Умножим $3$ на $16$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.7

Сократим общий множитель $48$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.7.2.4

Разделим $12$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Этап 7.2.8

Единица в любой степени равна единице.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Этап 7.2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 - \frac{3}{4})$

Этап 7.2.10

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Этап 7.2.11

Объединим $12$ и $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Этап 7.2.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{12 \cdot 4 - 3}{4})$

Этап 7.2.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.13.1

Умножим $12$ на $4$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{48 - 3}{4})$

Этап 7.2.13.2

Вычтем $3$ из $48$ .

$A (x) = \frac{1}{8 - 1} (\frac{45}{4})$

Этап 8

Вычтем $1$ из $8$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Этап 9

Умножим $\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{7}$ на $\frac{45}{4}$ .

$A (x) = \frac{45}{7 \cdot 4}$

Этап 9.2

Умножим $7$ на $4$ .

$A (x) = \frac{45}{28}$

Этап 10