Математический анализ Примеры

$2 x^{4} + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x - 2$

Этап 1

Приравняем $2 x^{4} + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x - 2$ к $0$ .

$2 x^{4} + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x - 2 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$2 x^{4} - 2 + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{4}$ .

$2 (x^{4}) - 2 + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (x^{4}) + 2 (- 1) + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x^{4}) + 2 (- 1)$ .

$2 (x^{4} - 1) + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$2 ({(x^{2})}^{2} - 1) + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.1.4

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 1$ .

$2 ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.1.6

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.1.6.1.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1.2.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$2 ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.1.6.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.1.6.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $3 x$ из $27 x^{3} + 33 x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $3 x$ из $27 x^{3}$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x (9 x^{2}) + 33 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $3 x$ из $33 x^{2}$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x (9 x^{2}) + 3 x (11 x) + 6 x = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $3 x$ из $6 x$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x (9 x^{2}) + 3 x (11 x) + 3 x (2) = 0$

Этап 2.1.7.4

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (9 x^{2}) + 3 x (11 x)$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x (9 x^{2} + 11 x) + 3 x (2) = 0$

Этап 2.1.7.5

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (9 x^{2} + 11 x) + 3 x (2)$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x (9 x^{2} + 11 x + 2) = 0$

Этап 2.1.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 9 \cdot 2 = 18$ , а сумма — $b = 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1.1

Вынесем множитель $11$ из $11 x$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x (9 x^{2} + 11 (x) + 2) = 0$

Этап 2.1.8.1.1.2

Запишем $11$ как $2$ плюс $9$

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x (9 x^{2} + (2 + 9) x + 2) = 0$

Этап 2.1.8.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x (9 x^{2} + 2 x + 9 x + 2) = 0$

Этап 2.1.8.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x ((9 x^{2} + 2 x) + 9 x + 2) = 0$

Этап 2.1.8.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x (x (9 x + 2) + 1 (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.8.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 x + 2$ .

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x ((9 x + 2) (x + 1)) = 0$

Этап 2.1.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x (9 x + 2) (x + 1) = 0$

Этап 2.1.9

Вынесем множитель $x + 1$ из $2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) + 3 x (9 x + 2) (x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $2 (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (2 (x^{2} + 1) (x - 1)) + 3 x (9 x + 2) (x + 1) = 0$

Этап 2.1.9.2

Вынесем множитель $x + 1$ из $3 x (9 x + 2) (x + 1)$ .

$(x + 1) (2 (x^{2} + 1) (x - 1)) + (x + 1) (3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.9.3

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x + 1) (2 (x^{2} + 1) (x - 1)) + (x + 1) (3 x (9 x + 2))$ .

$(x + 1) (2 (x^{2} + 1) (x - 1) + 3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.10

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) ((2 x^{2} + 2 \cdot 1) (x - 1) + 3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.11

Умножим $2$ на $1$ .

$(x + 1) ((2 x^{2} + 2) (x - 1) + 3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.12

Развернем $(2 x^{2} + 2) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (2 x^{2} (x - 1) + 2 (x - 1) + 3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 (x - 1) + 3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1.1

Перенесем $x$ .

$(x + 1) (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.13.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 1) (2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.13.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 1) (2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.13.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(x + 1) (2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 1 + 2 x + 2 \cdot - 1 + 3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.13.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(x + 1) (2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 1 + 3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.13.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(x + 1) (2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + 3 x (9 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.14

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + 3 x (9 x) + 3 x \cdot 2) = 0$

Этап 2.1.15

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x + 1) (2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + 3 \cdot (9 x \cdot x) + 3 x \cdot 2) = 0$

Этап 2.1.16

Умножим $2$ на $3$ .

$(x + 1) (2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + 3 \cdot (9 x \cdot x) + 6 x) = 0$

Этап 2.1.17

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.17.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.17.1.1

Перенесем $x$ .

$(x + 1) (2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + 3 \cdot (9 (x \cdot x)) + 6 x) = 0$

Этап 2.1.17.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x + 1) (2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + 3 \cdot (9 x^{2}) + 6 x) = 0$

Этап 2.1.17.2

Умножим $3$ на $9$ .

$(x + 1) (2 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2 + 27 x^{2} + 6 x) = 0$

Этап 2.1.18

Добавим $- 2 x^{2}$ и $27 x^{2}$ .

$(x + 1) (2 x^{3} + 25 x^{2} + 2 x - 2 + 6 x) = 0$

Этап 2.1.19

Добавим $2 x$ и $6 x$ .

$(x + 1) (2 x^{3} + 25 x^{2} + 8 x - 2) = 0$

Этап 2.1.20

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.1

Разложим $2 x^{3} + 25 x^{2} + 8 x - 2$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 2.1.20.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 2$

Этап 2.1.20.1.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.1.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$2 {(- 0.5)}^{3} + 25 {(- 0.5)}^{2} + 8 \cdot - 0.5 - 2$

Этап 2.1.20.1.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$2 \cdot - 0.125 + 25 {(- 0.5)}^{2} + 8 \cdot - 0.5 - 2$

Этап 2.1.20.1.3.3

Умножим $2$ на $- 0.125$ .

$- 0.25 + 25 {(- 0.5)}^{2} + 8 \cdot - 0.5 - 2$

Этап 2.1.20.1.3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$- 0.25 + 25 \cdot 0.25 + 8 \cdot - 0.5 - 2$

Этап 2.1.20.1.3.5

Умножим $25$ на $0.25$ .

$- 0.25 + 6.25 + 8 \cdot - 0.5 - 2$

Этап 2.1.20.1.3.6

Добавим $- 0.25$ и $6.25$ .

$6 + 8 \cdot - 0.5 - 2$

Этап 2.1.20.1.3.7

Умножим $8$ на $- 0.5$ .

$6 - 4 - 2$

Этап 2.1.20.1.3.8

Вычтем $4$ из $6$ .

$2 - 2$

Этап 2.1.20.1.3.9

Вычтем $2$ из $2$ .

$0$

Этап 2.1.20.1.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + 25 x^{2} + 8 x - 2}{2 x + 1}$

Этап 2.1.20.1.5

Разделим $2 x^{3} + 25 x^{2} + 8 x - 2$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$25 x^{2}$

$8 x$

$2$

Этап 2.1.20.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$

Этап 2.1.20.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			+	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 2.1.20.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} + x^{2}$ .

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 2.1.20.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$

Этап 2.1.20.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 2.1.20.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $24 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 2.1.20.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$24 x^{2}$	+	$12 x$

Этап 2.1.20.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $24 x^{2} + 12 x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$12 x$

Этап 2.1.20.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$4 x$

Этап 2.1.20.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$4 x$	-	$2$

Этап 2.1.20.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	-	$2$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$4 x$	-	$2$

Этап 2.1.20.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$12 x$	-	$2$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	-	$2$

Этап 2.1.20.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 x - 2$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	-	$2$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	+	$2$

Этап 2.1.20.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$12 x$	-	$2$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$8 x$	-	$2$
			-	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$24 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$24 x^{2}$	-	$12 x$
							-	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	+	$2$
										$0$

Этап 2.1.20.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 12 x - 2$

Этап 2.1.20.1.6

Запишем $2 x^{3} + 25 x^{2} + 8 x - 2$ в виде набора множителей.

$(x + 1) ((2 x + 1) (x^{2} + 12 x - 2)) = 0$

Этап 2.1.20.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (2 x + 1) (x^{2} + 12 x - 2) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x^{2} + 12 x - 2 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} + 12 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} + 12 x - 2$ к $0$ .

$x^{2} + 12 x - 2 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} + 12 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 12$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 8}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Добавим $144$ и $8$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{152}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $152$ в виде $2^{2} \cdot 38$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $152$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (38)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 38}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{38}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{38}}{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Упростим $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{38}}{2}$ .

$x = - 6 \pm \sqrt{38}$

Этап 2.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 6 + \sqrt{38}, - 6 - \sqrt{38}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (2 x + 1) (x^{2} + 12 x - 2) = 0$ верно.

$x = - 1, - \frac{1}{2}, - 6 + \sqrt{38}, - 6 - \sqrt{38}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 1, - \frac{1}{2}, - 6 + \sqrt{38}, - 6 - \sqrt{38}$

Десятичная форма:

$x = - 1, - 0.5, 0.16441400 \dots, - 12.16441400 \dots$

Этап 4