Математический анализ Примеры

$4 x^{3} - 2 x \sqrt{5} - 6 x$

Этап 1

Приравняем $4 x^{3} - 2 x \sqrt{5} - 6 x$ к $0$ .

$4 x^{3} - 2 x \sqrt{5} - 6 x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{3} - 2 x \sqrt{5} - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $4 x^{3}$ .

$2 x (2 x^{2}) - 2 x \sqrt{5} - 6 x = 0$

Этап 2.1.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x \sqrt{5}$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 1 \sqrt{5}) - 6 x = 0$

Этап 2.1.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $- 6 x$ .

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 1 \sqrt{5}) + 2 x (- 3) = 0$

Этап 2.1.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 1 \sqrt{5})$ .

$2 x (2 x^{2} - 1 \sqrt{5}) + 2 x (- 3) = 0$

Этап 2.1.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (2 x^{2} - 1 \sqrt{5}) + 2 x (- 3)$ .

$2 x (2 x^{2} - 1 \sqrt{5} - 3) = 0$

Этап 2.1.2

Перепишем $- 1 \sqrt{5}$ в виде $- \sqrt{5}$ .

$2 x (2 x^{2} - \sqrt{5} - 3) = 0$

Этап 2.1.3

Изменим порядок членов.

$2 x (2 x^{2} - 3 - \sqrt{5}) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 3 - \sqrt{5} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $2 x^{2} - 3 - \sqrt{5}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $2 x^{2} - 3 - \sqrt{5}$ к $0$ .

$2 x^{2} - 3 - \sqrt{5} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $2 x^{2} - 3 - \sqrt{5} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} - \sqrt{5} = 3$

Этап 2.4.2.1.2

Добавим $\sqrt{5}$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} = 3 + \sqrt{5}$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $2 x^{2} = 3 + \sqrt{5}$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $2 x^{2} = 3 + \sqrt{5}$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$

Этап 2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$

Этап 2.4.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$

Этап 2.4.2.4.2

Перепишем $\sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.4.3

Умножим $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 2.4.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 2.4.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 2.4.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 2.4.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.4.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.4.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.4.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 2.4.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 + \sqrt{5}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 2.4.2.4.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}$

Этап 2.4.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}$

Этап 2.4.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}$

Этап 2.4.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}, - \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (2 x^{2} - 3 - \sqrt{5}) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}, - \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 0, \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}, - \frac{\sqrt{(3 + \sqrt{5}) \cdot 2}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 0, 1.61803398 \dots, - 1.61803398 \dots$

Этап 4